6 Сложение и умножение вероятностей

6.1 Справочный материал

 

                   Теорема сложения вероятностей двух событий

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих

событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).                              (6.1)

                   Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).                                           (6.2)

3амечание. Формула (6.2) получается из формулы (6.1), когда А

и В - несовместные события; в этом случае АВ - невозможное событие и

Р(АВ) = 0.

                   Теорема сложения вероятностей n несовместных событий

Вероятность суммы n несовместных событий  равна

сумме вероятностей этих событий:

   (6.3)

Сумма вероятностей событий , образующих полную

группу, равна единице:

 .                                                (6.4)

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

                                                     (6.5) 

Введем обозначение:

                                            (6.6)                    

тогда формулу (6.5) можно записать в виде:

p+q=1                                                                        (6.7)

Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/A), или .

                   Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

            (6.8)

Событие В не зависит от события А, если

P(B/A)=P(B),                                                             (6.9)

т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А. В этом случае и событие А не зависит от события В, т.е. свойство независимости событий является взаимным.

Отметим, что если события А и В независимы, то также независимы события  и В, А и   и 

                   Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей::

                                             (6.10)

                   Теорема умножения вероятностей n событий

Вероятность произведения n событий равна произведению одного

из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

                                                (6.11)   

В частности, для трех событий А, В, С формула (6.11) принимает вид:

                (6.12)

События     называются независимыми в совокупности, или незавиcимыми, если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и произведение k остальных (k = 2, 3, ... , n-1).

3амечание. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.

3амечание. Если события  независимы, то противоположные им события ,    также независимы.

                   Теорема умножения вероятностей n независимых событий

Если события  независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

            (6.13)

3амечание. Равенство (6.13) выражает необходимое и достаточное

условие независимости событий  .

Для трех независимых событий А, В, С формула (6.13) принимает вид:

                         (6.14)

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

            (6.15)

В частности, если события , независимы, то

.                                                                   (6.16)

Если независимые события  имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:

                                                                        (6.17)

где 

В обратной задаче вероятность наступления события А (Р(А)) известна и нужно определить, при каком числе n независимых событий  достигается заданное значение Р(А). Точнее говоря, задается некоторое число Q такое, что

                                                        (6.18)

из этого неравенства определяется значение n.