4 Геометрическое определение вероятности

4.1 Справочный материал

 

Классическое определение вероятности предполагает, что число

элементарных исходов рассматриваемого испытания конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество исходов испытания бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрическое     понятие вероятности – вероятность попадания точки в область.

На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая

площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадь . В области G расположена  область gплощади  (рисунок 4.1):

Рисунок 4.1

 В область G наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G с вероятностью, пропорциональной площади этой части, причем вероятность попадания точки в эту область не зависит от ее формы и расположения. Обозначим событие А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

                                                                          (4.1)

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема  содержащую

область g объема  (по-прежнему: событие А – попадание брошенной точки в область g):

                                                                  (4.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем)

через mes g, а меру области G - через mes G (mes - первые три буквы

французского слова mesure, что значит мера); обозначим буквой А событие - попадание брошенной точки в область g,  причем область g содержится в области G. Вероятность попадания в область gточки, брошенной в область G, определяется формулой:

                                                             (4.3)

4.2 Задачи

 

Задача 1. В круг вписан квадрат (рис 4.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

                              

Рисунок 4.2

Решение. Введем обозначения: R - радиус круга, а - сторона вписанного квадрата, S - площадь круга,  - площадь вписанного квадрата, событие  А - попадание точки в квадрат. Как известно, площадь круга равна:

Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой:

Поэтому площадь квадрата найдем как:

Полагая в формуле (4.1)  находим искомую

вероятность события А:

3амечание. Выражение стороны квадрата через радиус окружности можно получить следующим образом. Из  КNМ, по теореме Пифагора, можно записать:

 или  

Откуда

 или  

Задача 2. В квадрат (рис. 4.3) с вершинами в точках О(0,0),

К(0,1),  L(1,1), М(1,0) наудачу брошена точка Q(x, у). Найти вероятность

того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству

 

 

 

 

 

              Рисунок 4.3

Решение. Обозначим событие А – координаты наудачу брошенной в квадрат OКLM точки удовлетворяют условию

                             .

Проведем прямую  , она пересечет отрезок ML в точке N(1;1/2). Эта прямая рассекает плоскость на две полуплоскости: для координат точек первой из них (верхней) будет выполняться неравенство , для координат точек второй (нижней) полуплоскости будет выполняться неравенство 

Все точки, принадлежащие квадрату OКLM, координаты которых удовлетворяют неравенству , находятся в многоугольнике OКLN. Этот многоугольник состоит из прямоугольникаCKLN и треугольника OCN.  Площадь многоугольника ОKLN равна:

Площадь S квадрата OКLM равна единице:

В соответствии с формулой (4.1), приняв , найдем искомую вероятность события А:

Задача 3. В прямоугольник с вершинами К(-1,0), L(-1, 5), М(2, 5), N(2,0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты (х, у) будут удовлетворять неравенствам

Решение. Обозначим событие А – точка, брошенная наугад в прямоугольник с вершинамиК(-1,0), L(-1, 5), М(2, 5), N(2,0), попадает в область g, все точки которой удовлетворяют неравенствам 

По условию,  область g, ограничена параболой  и прямой (рисунок 4.4, область g закрашена).

                   

Рисунок 4.4

Парабола и прямая пересекаются в точках Q(-1,2) и М(2,5). Вычислим площадь области g:

 

Найдем площадь прямоугольника KLMN (область G):

Найдем вероятность события А:

Задача 4. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре.

Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение. Введем обозначения: событие А - точка попала в куб; R - радиус шара, а - ребро куба, V - объем шара,  - объем вписанного

куба.

Объем шара, как известно, равен

Объем куба равен  т.к.  то

В соответствии с формулой (4.2), приняв ,    получаем:

 Задача 5. На плоскости область G ограничена эллипсом, который описывается уравнением:

а область g – эллипсом, который описывается уравнением

В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область g (Рисунок 4. 5)?

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.5

Решение. Обозначим событие А – брошенная точка попадает в область g.

Вычислим площадь области, ограниченной эллипсом симметричным относительно начала координат, который, в общем случае, описывается выражением:

                                         

для этого запишем параметрическое уравнение эллипса:

Поскольку эллипсис симметричен относительно осей координат, достаточно вычислить площадь четвертой части указанной области (заштриховано на рисунке 4.6):

 

 

 

 

Рисунок 4.6

Площадь заштрихованной фигуры найдем по формуле:

Подставим вместо x и y их значения, воспользовавшись параметрическим уравнением эллипса, при этом придется найти dx и пересчитать пределы интегрирования. Имеем:

Определяем нижний предел интегрирования:

Определяем верхний предел интегрирования:

Подставляя, получаем:

Таким образом, площадь эллипса, изображенного на рисунке 4.6 равна:

где а и b – полуоси эллипса.

В данном случае   . По формуле (4.1)находим искомую вероятность:

Задача 6. На отрезок единичной длины бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из этих отрезков можно построить треугольник?

Решение. Заданный отрезок рассматриваем, для простоты, как отрезок [0; 1] числовой прямой. Координаты брошенных точек обозначим через х и у; это числа из отрезка [0,1].

Чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно выполнение неравенства треугольника для длин его сторон: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Пусть x<y, тогда расположение точек на числовой прямой имеет вид (рисунок 4.7):                                                                                                              

 

 

 

 

Рисунок 4.7

Чтобы из полученных отрезков можно было построить треугольник, они должны удовлетворять следующим условиям:

  откуда   Дополнительное условие x<y, это условие будет выполняться, если выполняются первое и третье уравнения системы. Данная система задает некоторую область на плоскости. Эта область построена на рисунке 4.8:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.8

Аналогично рассмотрим случай, когда x>y. Тогда расположение точек на числовой прямой имеет вид (рисунок 4.9):

Рисунок 4.9

Составим систему уравнений:

  откуда   Дополнительное условие x>y, это условие будет выполняться, если выполняются первое и третье уравнения системы. Данная система также задает некоторую область на плоскости. Эту область построим на рисунке 4.10:

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.10

Совместим обе найденные области на одном рисунке (рисунок 4.11):

                  

Рисунок 4.11

На рисунке 4.11 полученная область выделена черным цветом, также указаны координаты точек, которые позволяют вычислить площадь найденных фигур.

Обратим внимание на то, что числа  х и y можно рассматривать не как координаты двух разных точек, брошенных на числовую прямую, а также как координаты одной точки на плоскости (рисунок 4.12).

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.12

Так как   и     то точка (х, у) наудачу брошена в квадрат со сторонойа=1. Если, при этом, точка попадает в окрашенную область (рисунок 4.11), то из полученных отрезков можно составить треугольник (отрезки определяются координатами точки (х, у)). Таким образом, вероятность искомого события А найдем как отношение двух площадей:

Задача 7. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не

превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

Решение. Обозначим взятые числа через х и у. Обозначим событие А – взятые наугад числа x,y, каждое из которых не больше единицы, имеют сумму не больше единицы и произведение не больше 2/9.

 По условию, возможные значения х и у должны быть не больше единицы, т.е. взятые числа удовлетворяют неравенствам:

На плоскости эти неравенства определяют единичный квадрат с площадью  = 1.

Значения x и y, благоприятствующие дополнительным условиям (сумма чисел не превосходит единицы, а произведение будет не больше 2/9) определены условиями:

Эти два неравенства задают область g, изображенную на рисунке 4.13. Область g на рисунке закрашена. Найдем абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы   и   .

 откуда  .

Решаем квадратное уравнение и получаем:

     

                        

Рисунок 4.13

Область g состоит из трапеции, криволинейной трапеции и треугольника, площадь области gнаходим как сумму площадей этих фигур:

Для нахождения площадей вычислим  и :

Площадь трапеции равна:

Площадь треугольника равна:

Находим площадь криволинейной трапеции:

Следовательно, площадь области g равна:

Тогда искомая вероятность события А равна:

Задача 8. На отрезке [0;2] наудачу выбраны два числа х и у. Найти

вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам

Решение. Будем считать, что х и у это координаты некоторой точки на плоскости. По условию задачи координаты этой точки (х, у) принадлежат отрезку [0;2], т.е. удовлетворяют системе неравенств:

Это означает, что точка c координатами (х, у)  наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной а = 2, т.е. область G – квадрат и ее площадь равна:

Также координаты точки должны удовлетворять неравенствам

которые можно записать в виде системы:

Области G и g изображены на рисунке 4.14. Область g закрашена.

                    

Рисунок 4.14

Найдем площадь области g:

Обозначим событие А – брошенная в квадрат наудачу точка с координатами (х, у) попадает в закрашенную область.

Найдем вероятность этого события:

  

Задача 9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго – двум часам.

Решение. Обозначим время прибытия первого парохода x, а время прибытия второго пароходаy. Согласно условиям задачи:

Обозначим событие A - одному из пароходов приходится ожидать освобождение причала. Этому событию благоприятствуют следующие условия:

o   первый пароход подошел к причалу и не успел уйти до прибытия второго парохода, или

y-x1, откуда yx+1;

o   второй пароход подошел к причалу и не успел уйти до прибытия первого парохода, или

x-y2,    откуда      .

Изобразим области G и g (область закрашена) на рисунке 4.15:

Рисунок 4.15

 

 

Вероятность события А найдем как:

 

Замечание. Подобные задачи часто называют «задачей о встрече».