2 Комбинаторика и вероятность

2.1 Теория

 

Комбинаторика изучает способы подсчета числа комбинаций, которые могут быть составлены из элементов конечного множества. При этом все составленные комбинации должны удовлетворять определенному требованию.

Формулы комбинаторики, используют при непосредственном

вычислении вероятностей.

Комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов

и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются

перестановками этих элементов. Число всевозможных перестановок из

k элементов обозначают  и находят по формуле:

                (2.1)

Замечание.  читается «ка факториал». 

Замечание. Для пустого множества принимается соглашение: пустое множество можно упорядочить только одним способом; по определению полагают

           

Размещениями называют комбинации составленные из k различных элементов по m элементов в каждой комбинации. Комбинации отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой

             (2.2)

Сочетаниями из k различных элементов по m называются комбинации, содержащие mэлементов в каждой комбинации, причем эти элементы выбраны из числа k заданных элементов. Комбинации отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из k элементов по m находят по формуле

                                                         (2.3)

Замечание. По определению полагают 

Выше предполагалось, что все k элементов, из которых составляются комбинации, различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Например, если среди k элементов есть  элементов одного вида,  элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями определяется формулой:

                                        (2.4)           

где .

Число размещений из k элементов по m элементов с повторениями равно:

                                                      (2.5)

Число сочетаний с повторениями из k элементов по m элементов равно числу сочетаний без ·повторений из k + m - 1 элементов по m элементов, т.е.:

                                              (2.6)

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из

множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран из множества объектов nспособами, то выбрать либо А, либо В можно   способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать из множества объектов n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m· n способами.

2.2 Задачи

Задача 1. Сколькими различными способами можно выбрать три

лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т.е. задано множество из 10 различных элементов). Требуется составить все возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации. Причем, т.к. должности различны, то важен не только состав комбинации, но и порядок элементов в ней.

Поясним на примере. Пусть требуется назначить сотрудников на должности менеджера, старшего менеджера и главного менеджера (обозначим их, соответственно, как 1, 2, 3). Даже из трех кандидатов можно составить 6 различных вариантов:

Таблица 2.1

Возможные варианты назначения на должности для трех кандидатов

1.	Иванов	Иванов	Петров	Петров	Сидоров	Сидоров
2.	Петров	Сидоров	Иванов	Сидоров	Иванов	Петров
3.	Сидоров	Петров	Сидоров	Иванов	Петров	Иванов

Из таблицы 2.1 видно, что возможные комбинации отличаются порядком сотрудников (элементов). Если выбор производить из 10 сотрудников, то возможные комбинации будут отличаться и составом (элементами). Т.о. здесь имеет место размещение.

Воспользуемся формулой (2.2). При k = 10, m = 3 получаем

Задача 2. Сколькими различными способами могут разместиться

на скамейке 5 человек?

Решение. Очевидно, что на скамейке все время рассаживается 5 человек (т.е. в каждой возможной комбинации участвуют все заданные элементы), но порядок размещения на скамейке может быть различным.

Чтобы пояснить сказанное, присвоим каждому человеку порядковый номер, т.е. пронумеруем элементы. Возможные способы размещения на скамейке поясним таблицей 2.2.

Таблица 2.2

Возможные способы размещения на скамейке

1 способ	1-ый	2-ой	3-ий	4-ый	5-ый
2 способ	1-ый	2-ой	3-ий	5-ый	4-ый
3 способ	1-ый	2-ой	4-ый	3-ий	5-ый
4 способ	1-ый	2-ой	4-ый	5-ый	3-ий
…	…	…	…	…	…

Следовательно, все элементы входят в каждую комбинацию, возможные комбинации отличаются только порядком образующих их элементов, т.е. это - перестановки. Расчет проводим по формуле (2.1) при k=5:

  

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать три лица на три

одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т.е. задано множество из 10 различных элементов). Требуется составить все возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации. Причем, т.к. должности одинаковы, то важен только состав комбинации, порядок элементов в ней роли не играет. Расчет возможного числа комбинаций проводим по формуле сочетаний (2.3) при k=10 и m=3:

                                                            

Задача 4. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Решение. Всего задано 6 цифр и требуется составить шестизначные числа, т.е. все заданные элементы будут использованы для составления каждого числа (комбинации). Т.о. комбинации будут отличаться только порядком элементов, следовательно, это – перестановки. Обратим внимание, что задано три одинаковых элемента «1» и три одинаковых элемента «2». Т.к. в состав комбинаций входят одинаковые элементы, то пользуемся формулой для перестановок с повторениями (2.4) приk=6, :

 

Задача 5.  Сколько различных перестановок букв можно сделать в

слове колокол?

Решение. В слове колокол, состоящем из семи букв, буква к встречается дважды, буква о - трижды, буква л - дважды. Пользуемся формулой для перестановок с повторениями (2.4) при k=7, :

 

Задача 6. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М,

Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова

вероятность того, что получится слово МИНСК?

Решение. Обозначим как событие А получение слова МИНСК при случайной раскладке карточек.

Пять карточек можно рассматривать как пять различных элементов, причем в каждой комбинации (в каждой раскладке) участвуют все 5 элементов. Тогда число всех возможных комбинаций, т.е. число равновозможных исходов, определяется как число перестановок из 5:

Благоприятствует данному событию только 1 исход, m=1.

Следовательно

Задача 7. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд по порядку извлечения. Какова вероятность того, что получится слово тор?

Решение. Обозначим событие А – при выборе трех произвольных букв сложилось слово тор.

Чтобы отличить одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами:  Общее число элементарных исходов определяется как число возможных размещений из 5 элементов по 3, т.к. составляются комбинации состоящие из 3 элементов, причем важны и элементы и их порядок в комбинации.

Слово тор получится в 4 случаях (m=4):

Искомая вероятность равна

При подсчете числа благоприятных исходов здесь можно воспользоваться правилом произведения: букву т можно выбрать одним способом, букву о - двумя, букву р - двумя способами. Тогда

Задача 8. На шести одинаковых по форме и размеру карточках

написаны буквы слова талант - по одной букве на каждой карточке.

Карточки тщательно перемешаны, их вынимают наудачу и располагают

на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?

Решение. Пронумеруем карточки с буквами (результат см. в таблице 2.3):

т	а	л	а	н	т
1	2	3	4	5	6

 

Заметим, что слово талант (исходный порядок карточек 123456) не изменится, если буквы апереставить местами, при этом получим следующий порядок карточек:

143256

Если в каждой из этих двух комбинаций то же проделать с буквой т, то получим еще 2 различные комбинации карточек со словом талант: 623451 и 643251.

Значит, появлению слова талант благоприятствуют 4 элементарных исхода (m=4). Общее число равновозможных элементарных исходов равно числу перестановок из 6 элементов (т.к. в каждой возможной комбинации задействованы все 6 карточек):

Следовательно, вероятность события A равна:

Задача  9. На пяти одинаковых карточках написаны буквы: на двух карточках л, на остальных трех и. Выкладывают наудачу эти карточки в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово лилии?

Решение.  Обозначим событие А – появление слова лилия.

Общее число возможных комбинаций (n) найдем как число перестановок с повторениями из этих пяти букв. Воспользуемся формулой (2.4), полагая в ней k=5 (общее число элементов в каждой комбинации),  (число одинаковых букв л в комбинации), (число одинаковых букв и в комбинации). Получаем:

                                       

Это общее число равновозможных исходов опыта, т.е. n=10. Событию А благоприятствует лишь один исход (m=1). Получаем:

Аналогично, с использованием формулы (2.4), может быть решена и предыдущая задача.

Задача 10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 окажутся стандартными.

Решение. Обозначим событие A – из 6 выбранных наудачу деталей 4 детали оказались стандартными.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.к. порядок выбора деталей не играет роли, а важно только какие детали оказались выбранными, используем формулу (2.3) для сочетаний при k=10 и m=6:

                                                         

Определяем число исходов, благоприятствующих событию А - "среди 6 взятых деталей 4 стандартных". Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять  способами, при этом остальные 6 - 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно  способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно ( правилу произведения):

.

Искомая вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

3амечание. Такая схема подсчета вероятности события пригодна для решения ряда практических задач. Например, имеется множество элементов объема N. Это могут быть изделия, каждое из которых является годным или бракованным, или семена, каждое из которых может быть всхожим или нет. Подобного рода ситуации описываются «урновой схемой»: в урне имеется Nшаров, из них М черных и (N - M) красных.

Из урны, содержащей N шаров, в которой находится М черных шаров, извлекается r шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема r будет обнаружено s черных шаров. Обозначим через А событие "в выборке объема r имеется s черных шаров", тогда

                                                 (2.7)     

Задача 11. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек,

разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Решение. Обозначим событие А – среди пяти обладателей билетов окажутся две девушки.

Очевидно, что задача может быть решена с использованием «урновой схемы» при N=25,M=10, r=5, s=2.

Воспользовавшись выражением (2.7), получаем:

Подставив, имеем:

 Задача 12. В ящике находятся 15 красных, 9 черных и 6 зеленых

шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 черных и 3 красных шара?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что из ящика извлекли 1 зеленый, 2 черных и 3 красных шара.

В ящике всего 30 шаров (15+9+6=30). При извлечении 6 шаров число всех равновозможных элементарных исходов будет равно n:

Используем формулу для подсчета числа сочетаний, т.к. не важно в каком порядке извлекаются шары, имеет значение только то, какие именно шары были извлечены.

Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать   способами, два черных шара из 9 можно выбрать     способами, один зеленый из 6 -  способами.

Следовательно (применяя правило произведения), число исходов, благоприятствующих событию А, будет равно

Тогда