1.2 Задачи

Задача 1. Подбрасывают два игральных кубика и записывают число очков на верхних гранях обоих кубиков.

Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение. Будем записывать возможные исходы опыта в виде (n, m), где n –  число очков, выпавших на верхней грани одного кубика, а m – число очков, выпавших на верхней грани другого кубика. Запишем результаты в виде таблицы (см. таблицу 1.1):

Таблица 1.1

Возможные исходы опыта

(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)	(6,1)
(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(6,2)
(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)	(6,3)
(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)	(6,4)
(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)	(6,5)
(1,6)	(2,6)	(3,6)	(4,6)	(5,6)	(6,6)

 

Из таблицы следует, что возможно 36 равновозможных элементарных исхода.

Задача 2. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение. Согласно таблице 1.1 этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов:  (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Задача 3. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7" или "сумма выпавших очков равна 8"?

Решение. Согласно таблице 1.1 событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Событию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.

Задача 4. Подбрасываются три игральных кубика и подсчитываются суммы очков, выпавших на верхних гранях. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков?

Решение. Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1).

Замечание. Запись (3 ,2,1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором - 2 очка, на третьем - 1очко.

Задача 5. Подбрасываются три игральных кубика и подсчитываются суммы очков, выпавших на верхних гранях. Сколькими способами можно получить в сумме 6 очков?

Решение. Получить в сумме 6 очков можно десятью способами: (1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (2,2,2).

Задача 6. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события несовместными?

Решение. Указанные события А и В не могут произойти вместе при одном и том же испытании, следовательно, они несовместны.

Задача 7. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события равновозможными?

Решение. Т.к. по условию монета симметрична, то нет оснований полагать, что событие А является более возможным, чем событие В и наоборот. Следовательно, события А и В - равновозможны.

Задача 8. Опыт состоит в подбрасывании погнутой монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются ли данные события равновозможными?

Решение. Т.к. по условию монета погнута (т.е. несимметрична), то есть основания полагать, что одно из событий (А или В) является более возможным. Следовательно, события А и В - неравновозможны.

Задача 9. Опыт состоит в том, что производится выстрел по мишени. События А - "попадание", событие В - "промах". Являются ли данные события равновозможными?

Решение. В общем случае нет оснований полагать, что данные события А и В являются равновозможными.

Задача 10. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты. Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Образуют ли полную группу событий эти события?

Решение. Чтобы события А и В образовывали  полную группу событий,

они должны быть несовместны и появление одного и только одного

из них должно являться достоверным событием. В данном случае указанные события А и В не могут произойти вместе при одном и том же испытании, следовательно, они несовместны. С другой стороны, одно из этих событий обязательно произойдет в результате опыта. Следовательно, событияА и В образуют полную группу событий.

Задача 11. Опыт состоит в подбрасывании двух симметричных монет. Событие А - "появление двух гербов", событие В - "появление двух цифр". Образуют ли полную группу событий эти события?

Решение. Чтобы события А и В образовывали  полную группу событий,

они должны быть несовместны и появление одного и только одного

из них должно являться достоверным событием. В данном случае указанные события А и В не могут произойти вместе при одном и том же испытании, следовательно, они несовместны. С другой стороны, в результате опыта может произойти событие С - "появление одного герба и одной цифры", т.е. появление одного и только одного из событий А или В не является достоверным событием. Следовательно, события А и В  не образуют полную группу событий.

Задача 12. Подбрасываются три игральных кубика и записывают очки, выпавшие на верхних гранях. Сколько всего элементарных исходов возможно?

Решение. Всего возможно 216 исходов.

Задача 13. Подбрасываются три игральных кубика и подсчитываются суммы очков, выпавших на верхних гранях. Сколькими способами можно получить в сумме 10 очков?

Решение. Получить в сумме 10 очков можно двадцатью семью способами: (1;6;3), (1,3,6), (1,5,4), (1,4,5), (2,6,2), (2,2,6), (2;5;3), (2,3,5), (2,4,4), (3,6,1), (3,1,6), (3,5,2), (3;2;5), (3,4,3), (3,3,4), (4,5,1), (4,1,5), (4,4,2), (4;2;4), (4,3,3), (5,4,1), (5,1,4), (5,3,2), (5,2,3), (6,3,1), (6,1,3), (6,2,2).

Задача 14. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 шара красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим

буквой А. Данное испытание (извлечение одного шара из урны) имеет 10  равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.1) получаем

Задача 15. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке

кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (это извлечение карточек с числами 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Задача  16. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего  равновозможных элементарных исходов (см. таблицу 1.1 к задаче 1). Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

Задача 17. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (в первом десятке простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность равна

Задача 18. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каждой

монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных

элементарных исхода: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) означает, что на первой монете выпал герб, на второй монете выпала цифра). Событию D благоприятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4, то

Задача 19. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Обозначим буквой A событие "в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы ". Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то

Задача 20. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 очков или 8 очков?

Решение. Обозначим буквой A событие "выпало 7 очков" и буквой В событие  "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В благоприятствует 5 элементарных исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всего возможно 36 равновозможных  элементарных исходов (см. таблицу 1.1 к задаче 1), тогда

Следовательно,  получить в сумме 7 очков - более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.