Лабораторная работа № 3 исследование неразветвленной цепи однофазного переменного напряжения. Резонанс напряжений (файл «Lab. 3.»)

3.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучение процессов, происходящих в электрической цепи при последовательном включении R, L, C-элементов. Исследование явления резонанса напряжений.

3.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Последовательно включенные катушка индуктивности и конденсатор образуют колебательный контур, в котором возможен резонанс напряжения. Эквивалентная электрическая схема контура для случая последовательного включения катушки индуктивности и емкости приведена на рис. 3.1.

.

Рис. 3.1. Эквивалентная электрическая схема при последовательном включении катушки индуктивности и конденсатора

Процессы, происходящие в исследуемой цепи (в соответствии со вторым законом Кирхгофа), описываются в случае постоянства величин R, L, C во времени и независимости их от величины протекающего тока линейным интегрально-дифференциальным уравнением

, (3.1)

где u(t) – переменное напряжение, подводимое к электрической цепи,

i(t) – переменный ток, протекающий в цепи,

R – величина сопротивление катушки индуктивности постоянному току,

L=K•Ẃ²- величина индуктивности катушки,

Ẃ –-число витков провода катушки индуктивности,

К– коэффициент, зависящий от конструкции катушки,

С – величина ёмкости конденсатора,

В том случае, когда катушка индуктивности наматывается на магнитопроводе (сердечнике) из электротехнической стали или другого ферромагнитного материала, она обозначается на электрической схеме черточкой, параллельной изображению индуктивности. При этом коэффициент самоиндукции катушки возрастает в µ_a и приближено определяется из выражения

L=К∙ μ_а ∙ [i(t)]·Ẃ² ,

где μ_а= μ₀∙μ,-абсолютная магнитная проницаемость сердечника,

μ₀ – магнитная проницаемость вакуума,

μ-относительная магнитная проницаемость сердечника,

Ẃ-число витков провода катушки,

К- коэффициент, определяемый конструкцией катушки и сердечника.

При этом μ_а[i(t)] зависит от величины протекающего через катушку индуктивности тока i(t), В этом случае уравнение (3.1.) становится нелинейным.

Эквивалентная схема катушки индуктивности состоит из двух элементов –индуктивности (L) и эквивалентного активного сопротивления, учитывающего потери на нагрев провода катушки, а также потери в сердечнике и каркасе катушки. Сопротивление индуктивности переменному току (Х_L=wL=2π∙f∙L), особенно намотанной на сердечнике из ферромагнитного материала, обычно велико, в то время как величина эквивалентного активного сопротивления ( R) относительно мала (доли или единицы Ома).

Для характеристики катушки индуктивности обычно используется величина добротности, равная

Q= 2π f L/R.

Если катушка индуктивности выполнена из сверхпроводящего провода, величина нагруженной добротности может достигать нескольких тысяч.

3.2.1. УПРОЩЕННЫЙ ВЕКТОРНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В случае, когда подаваемое на колебательный контур напряжение подчиняется синусоидальному закону, а частота колебаний напряжения (f) постоянна, для расчета параметров цепи можно использовать метод представления напряжений и токов в виде условных векторов на комплексной плоскости, вращающейся против часовой стрелки с угловой частотой w=2πf .

Полное сопротивление электрической цепи, состоящей из включенных последовательно R-L-C–элементов для переменного тока при этом также целесообразно представлять в комплексном виде. Для того, чтобы отличить комплексные сопротивления, их принято выделять подчеркиванием снизу. С учётом этого замечания выражение для полного комплексного сопротивления последовательно включенных элементов R-L-C записывается в следующем виде:

Z = |Z|×exp{jφ} = R + jX, (3.2)

где ‑ модуль полного комплексного сопротивления цепи, состоящей из последовательно включенных R-L-C элементов;

φ - угол сдвига фаз между протекающим током и и приложенным напряжением;

R – эквивалентное активное сопротивление катушки индуктивности;

X = X_L + X_C – полное комплексное реактивное сопротивление цепи;

X_L = jwL = j|X_L| – комплексное представление сопротивления индуктивности;

-комплексное представление сопротивления ёмкости;

Х_L = wL = 2πfL–сопротивление катушки индуктивности для переменного тока,

Хс = 1/wC = 1/ 2πfC -сопротивление емкости для переменного тока;

Х=(Х_L-Хс)-полное сопротивление индуктивности и емкости для переменного тока;

J=√ -1 - корень квадратный из минус единицы,

Подставляя принятые обозначения в формулу (3.1), можно записать выражение для напряжения, приложенного к рассматриваемой цепи, в следующем виде:

. (3.3)

Таким образом, решение интегрально-дифференциального уравнения (3.1) заменено решением простейшего алгебраического уравнения. Параметры этого уравнения легко определяются из приведенных выше выражений. Сдвиг фаз между током i(t) и напряжением u(t) определяется выражением

, (3.4)

где Х = X_L – X_C – полное реактивное сопротивление контура переменному току,

.R-сопротивление катушки индуктивности постоянному току.

ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ. Для облегчения построения векторных диаграмм на вращающейся плоскости необходимо запомнить следующие основные положения:

1) в цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе;

2) в идеализированной цепи только с индуктивным сопротивлением без потерь напряжение по фазе опережает ток на 90⁰;

3) в цепи с емкостным сопротивлением без потерь ток опережает по фазе напряжение на 90⁰.

При построении векторных диаграмм надо начинать с вектора напряжения или тока для всей анализируемой цепи. В частности, при последовательном включении элементов цепи надо начинать с построения вектора тока, протекающего через все элементы цепи. При параллельном включении элементов цепи построение векторной диаграммы надо начинать с вектора приложенного напряжения, а затем строить векторы токов, протекающих через каждую из ветвей электрической цепи.

При резонансе напряжений, когда Х_L = Х_C, полное сопротивление Z = R, то есть сопротивление контура оказывается активным, а ток, протекающий через контур, достигает максимальной величины, равной

. (3.5)

В данном случае построение векторной диаграммы надо начинать с вектора тока İ, затем строятся векторы напряжений. При последовательном соединении катушки индуктивности и ёмкости общее реактивное сопротивление цепи X равно алгебраической разности индуктивного и емкостного сопротивлений X_L и Х_C. Напряжение U, подводимое к контуру, можно представить в виде векторной суммы векторов U_R, совпадающего по фазе с вектором тока İ, вектора U_L, опережающего ток İ по фазе на угол 90⁰, и вектора U_C, отстающего от тока İ на 90⁰.

При этом возможны следующие случаи:

а) индуктивное сопротивление больше емкостного (X_L > Х_С); в этом случае подводимое напряжение будет опережать ток по фазе на угол φ;

б) емкостное сопротивление больше индуктивного (X_L < Х_C); при этом ток в цепи опережает подводимое напряжение на угол φ;

в) индуктивное сопротивление равно емкостному (X_L = X_C). Соответственно полное реактивное сопротивление цепи Х равно нулю, а полное сопротивление цепи Z = R. При этом ток совпадает по фазе с напряжением (φ = 0)и возникает резонанс напряжений.

Термин «резонанс напряжения» подразумевает, что при определенном условии, а именно: равенстве реактивных сопротивлений Х_L = Х_C, переменные напряжения на элементах контура L и C увеличиваются в Q раз по сравнению с величиной переменного напряжения, подаваемого от источника на контур. Под величиной Q понимается добротность контура:

,

где Х_L = wL = 2π f L - сопротивление катушки индуктивности переменному току,

R-эквивалентное активное сопротивление катушки индуктивности.

Векторная диаграмма для случая резонанса напряжений приведена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Векторная диаграмма токов и напряжений для случая резонанса напряжений U_L = U_C.

Явление резонанса напряжений широко используется в электронных схемах, в том числе в автогенераторах с кварцевыми резонаторами. Эквивалентная электрическая схема кварцевого резонатора обычно представляется в виде последовательно включенных R, L и C элементов.

3.3. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СТЕНДА. Структурная схема модели стенда, используемого для изучения характеристик электрической цепи, состоящей из последовательно включенных катушки и конденсатора переменной ёмкости, приведена на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Структурная схема модели стенда, используемого для изучения электрической цепи, состоящей из последовательно включенной катушки индуктивности и конденсатора.

На схеме слева - направо обозначены:

‑ генератор переменного электрического напряжения (˜U);

‑ вольтметр V1, измеряющий напряжение U, подводимое к контору;

‑ амперметр A1, измеряющий ток (I), протекающий от источника напряжения к контору;

‑ комплексный прибор «Cоmbim», включающий в себя ваттметр и фазометр с индикацией мощности вольтметром V2 [показания вольтметра V2, проградуированы: один Ватт на Вольт (Active Power 1W/V)]; показания вольтметра V3,измеряющего фазу, проградуированы: один градус на Bольт 1⁰/В (Phase Shift 1 grad/V)];

‑ вольтметрV4, измеряющий падение напряжения на катушке индуктивности U_к;

‑ вольтметр V5, измеряющий падение напряжения на конденсаторе U_C.

В используемой модели электрической цепи имеется возможность изменять величину ёмкости C1, С2, индуктивности L1, сопротивления R1, а также величину напряжения, подаваемого от генератора напряжения на контур.