Гипербола

Гиперболаның жабайы теңдеуі. Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының айырымы өрқашанда турақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындарын гипербола дейміз.

Анықтама бойынша (47-сызба):

2а = М-Ғ₂М, (1)

Ғ₂ = 2С, ОҒ₂ = С болсын.

Екі нүктенің ара қашықтығынның формуласы бойынша

.

Осы мен -нің мәндерін анықтамаға қойып, алгебралық түрлендіру арқылы гиперболаның жабайы теңдеуін табайық:

М = Ғ₂М = .

47-сызба

мен -нің мәндерін (1) теңдікке қояйық:

+

cx-

Енді екі жағын да а-ға бөлейік:

Осы теңдіктің екі жағын квадраттасақ, іздеген теңдеуді табамыз.

Егер

деп белгілесек, онда х² — а²у² = а² , осыдан

Бұл теңдеу гиперболаның жабайы теңдеуі деп аталады. Мұндағы х, у—гиперболаның бойындағы кез келген нүктенің ағымдық координаталары, а- гиперболаның нақты жарты осі, b — жорымал жарты ось.

2. Гиперболаның түрін оның жабайы теңдеуі бойынша зерттеу.

Гиперболаның жабайы. теңдеуін у арқылы өрнектейік:

мұндағы х пен у — айнымалы шамалар. х-тің мәндеріне сәйкес y-тің мәндері шығады. Осы айнымалы шамалардың әр түрлі мәндеріне байланысты, гиперболаның координаталар системасында қалай орналасатындығын (3') теңдеуі арқылы қарастырайық.

1) Егер х=+а болса, онда у = 0 болады. Сонда абсцисса осінің бойында гиперболаның екі нүктесі болады: ( — а, 0), А₂(а, 0).

2) Егер х = 0 болса, онда у=±bi болады. Мұнда ордината осінің бойында гиперболаның нақты нүктесі жоқ, яғни гипербола ордината осін қиып өтпейді.

3) (3') теңдеуіне қарағанда х-тің абсолют мәні өскен сайын y-тің абсолют мәні өсіп отырады.

4) х-тің бір мәніне y-тің әрқашанда екі мәні сәйкес, яғни аргументтің бір мәніне функцияның екі мәні сәйкес келеді, демек, плюс және минус таңбалы y-тің мәндері абсцисса осінің жоғарғы және теменгі жағында жатады.

5) (2) формуладан с>а, с>b, ал

2c>2a, =2a,

Осы айтылғандарға сүйене отырып гиперболаның графигін са-луға болады (48-сызба). Сызбадагы және А₂ — гиперболаның

48-сызба

төбелері, А₂—гиперболаның нақты осі, В₁В₂—жорымал осі. Координаталардың бас нүктесіне қарағанда гипербола симметриялы қисық сызық. х пен y-тің абсолют мәндері өскен сайын гиперболаның екі тармағы да өсіп отырады. х пен у шексіз болса, онда гиперболаның нүктелері де шексіз болады. 48-сызбадан: О + О = , а²+ b²=с², =А₂ = О = ОҒ₂ = с. Егер а мен b тең болса, онда х² — у² = а² болады. Бұл

тең қабырғалы гипербола деп аталады. Бұл жағдайдағы фокус координаталары мен осьтердің байланысы мынадай болады:

-а² = b², а = b, сонда с² = 2а², ал с=±а .

3. Радиус-вектор және эксцентриситет. Осы тараудың 1-параграфында гиперболанық жабайы теңдеуін дәлелдегенде мынадай

теңдік шықты: = а. (47) сызбадан: Ғ₂М = R₂ = х—а. Анықтама бойынша — R₂ = 2а. Осыдан -ді табайық:

= 2а + R₂ = 2а+ х — а, = а + х.

Сонымен, мен -нің мәндері мынадай болады:

= х+а, R₂ = х-а. (4)

Бұл теңдіктер гиперболаның радиус-векторларының формулалары деп аталады.

Гиперболаның екі фокусының ара қашықтығының нақты осіне қатынасы гиперболаның эксцентриситеті деп аталады. Эксцентриситет е әрпімен белгіленеді:

е= . (5)

с² — а² = b² формуласынан с>а, яғни с-тің а-дан артық екенін көреміз. Сондықтан гиперболаның эксцентриситеті әрқашанда бірден артық болады: е>1 ( - бұрыс бөлшек).

(4) формулаға е-нің мәнін қойсақ, мынау шығады:

= ех + а, R₂ = ех — а. (4')

Егер радиус-вектор Ғ₂М = R₂ абсцисса осіне перпендикуляр болса, онда х = с, R₁ = с + а, R₂= с — а, яғни

болады. (2) теңдікті қолдансақ, R₂= , ал = р деп белгілесек,

(6)

Бұл формула фокальдық радиус-вектордың формуласы деп аталады. R₂ = р— фокальдық радиус-вектор.

5. Гиперболаның асимптоталары. Анықтама. Гиперболаның асимптотасы деп, координатаның бас нүктесінен өтетін және гиперболаның тармақтарымен шексіз алыстағы нүктелерде кездесетін түзуді айтамыз.

Гиперболаның теңдеуі және координаталардың

бас нүктесінен өтетін түзудің Ү = х теңдеуі берілген.

Соңғы теңдеудегі игректі бас әріппен белгіледік. Гиперболаның теңдеуін у арқылы шешіп у= ± оның плюс таңбалы мәнін алайық: y=+

Y= теңдеуі мен у= теңдеуінің айырымын табайық:

M(x, y)

y= -

y= +

49-сызба

Алдағы мақсат — х шексізге ұмтылғанда (х →∞ ) бас әріппен белгіленген Ү пен кіші әріппен белгіленген у-тің айырымы неге ұмтылатындығын табу, яғни

Басқаша айтқанда, гипербола мен осы түзудің қиылысатын нүктесі бар ма? Қойылған сұраққа жауап беру үшін жоғарғы жазылған теңдіктің оң жағын түйіндес шамаға көбейтіп және оған бөліп түрлендірейік:

Осыдан

Демек, түзу мен гипербола шексізде қиылысады. x-тің мәні өскен сайын екі функцияның айырымы нольге ұмтылып, түзу гиперболаның тармағына жақындай береді. Гипербола мен түзу шексізде кездеседі. Мұндай түзу гиперболаның асимптотасы деп аталады. Гиперболаньің асимптотасы әрқашанда екеу болады (49-сызба). Олардың теңдеулер

(7)

мұндағы а мен b — гиперболаның жарты осьтері.

Бұл екі теңдеуді басқаша жазуға болады:

(7')

немесе

49-сызбадан: MD=У, М₁D= у, ОD=х, ММ₁=МD-М₁О = У-у, МD┴Ох. Гиперболаның графигін кұру үшін, оның асимптоталарының графиктерін пайдаланған жөн.

6. Гиперболаға жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеулері. Гиперболаның теңдеуі және сол гиперболаның бойында жатқан бір нүкте берілсін. Осы нүктеден өтетін жанама мен нормальдың теңдеулерін табайық.

теңдеуі мен нүктесі берілген. Енді (Ж) жанамасы мен (N) нормальдың теңдеулерін іздейік (50-сызба). Берілген нүктесінен бір көмекші қиюшы түзу жүргізіп,

50-сызба

оның гиперболамен қиылысатын екінші нүктесін М₂(х₂, у₂) деп белгілейік. Гиперболаның бойындағы мен М₂ нүктелерінің координаталары гиперболаның теңдеуін қанағаттандыратын болғандықтан,

Осы екі теңдеуден қатынасын іздейміз. Ол үшін бірінші теңдеуден екіншісін аламыз, сонда

Ал қиюшы түзудің теңдеуі мынадай болады:

Егер нүктесін қозғалмайтын, ал М₂ нүктесі нүктеге ұмтылады деп қарастырайық ( нүктесі М₂ нүктесінің шегі болсын). М₂ нүктесі нүктесімен беттескенде, ол қиюшы жанамаға айналады, яғни М₂ нүктесінің координаталары нүктесінің координаталарына үмтылады: lim Сондықтан (8) теңдіктен

lim (8ʹ)

Ал (9) теңдіктен

(8') теңдігінің мәнін (9') теңдігіне қойып, іздеген жанаманың теңдеуін табайық:

(10)

Түзулердің перпендикулярлық шарты бойынша, гиперболаға жүргізілген нормальдың теңдеуі мынадай болады:

(11)

Енді гиперболаға жүргізілген жанама теңдеуінің қолайлы түрін шығарайық. Ол үшін (10) теңдеуді түрлендірейік:

осы теңдіктің екі жағын да а²b² бөлсек

Осыдан гиперболаға жүргізілген жанаманың қолайлы теңдеуі шығады:

Нормальдың теңдеуінің екінші түрін шығару үшін (11) тең-деуді түрлендірейік:

7. Гиперболаның түйіндес диаметрлері. Анықтама. Гиперболаның центрінен өтетін және параллель хордалардың ортасындағы нүктелердің геометриялық орындарын гиперболаның диаметрі дейміз.

51-сызба

Егер екі диаметрдің біреуіне параллель жүргізілген хордаларды екінші диаметр дәл екіге бөлсе, онда мұндай екі диаметрді түйіндес диаметрлер дейміз (51-сызба). 51-сызбадағы А₁В₁ және А₂В₂ — түйіндес диаметрлер.

Гиперболанын теңдеуі және оның диаметріне түйіндес М₁М₂ хордасының у = кх + 1 теңдеуі берілген. Осы берілген хордаға түйіндес А₁В₁ диаметрінің теңдеуін қорытып шығараиық.

Берілген М₁М₂ (51-сызба) хорда гиперболаны қиып өтетін болғандықтан, әуелі хорда мен гиперболаның теңдеулерін біріктіріп шығарайық:

Бұл квадрат теңдеуден Виет теоремасы және кесіндіні қақ бөлу формуласы бойынша мынадай теңдік шығады:

Осы сияқты y-тің іздейік:

(13) теңдікті (12) теңдікке бөлсек, іздеген диаметрдің теңдеуі

Шығады: ,

Бұл теңдеу М₁М₂ хордасына түйіндес А₁В₁ диаметрінің теңдеуі (51-сызба).

Егер деп белгілесек, онда бұл теңдеуді былайша жазуға болады:

Гипербола диаметрінің теңдеуін (14) қарастырғаннан мынадай қорытынды шығады: 1) гиперболаның диаметрі координаталардың бас нүктесінен өтеді; 2) гиперболаның түйіндес диаметрлерінің таңбалары бірдей болады, яғни түйіндес диаметрлердің екеуі де абсцисса осімен не сүйір бұрыш, не доғал бұрыш жасайды. (14') формуласындағы к мен к₁-дің танбалары бірдей болады.

51-сызбадағы түйіндес екі А₁В₁ және А₂В₂ диаметрлерінің екеуі де абсцисса осімен сүйір бұрыш жасайды. Ал 52-сызбада түйіндес екі А₁А₂ және В₁В₂ диаметрлерінің екеуі де абсцисса осімен доғал бұрыш жасайды.

52-сызба

Бір диаметрдің абсцисса осімен жасайтын бұрышын α деп, екіншінің сол осьпен жасайтын бұрышын β десек, онда tgα=к, tgβ= болады. Осыдан

a=arctgk, β=arctg

мұндағы α мен β — екеуі де сүйір бұрыш немесе екеуі де доғал бұрыш.

8. Гиперболаның директрисалары. Гиперболаның графигін салып (53-сызба), оның ішінен ордината осіне параллель екі түзу (D), ( ) жүргізейік. Гиперболаның бойынан өз еркімізше бір М

нүктесін алып, қатынасын қарастырайық:

(D) түзуін ордината осіне параллель қозғалып отыратын түзу

деп қарастырсақ, онда осы түзулердің ішіндегі d= теңдігін

қанағаттандыратын бір түзуді гиперболаның директрисасы дейміз. Бұл анықтама бойынша радиус-вектордың гиперболаның бойындағы нүктеден түзуге дейінгі кашықтыққа қатынасы әрқашанда тұрақты шама болуға тиіс. Ол тұрақты шама эксцентриситет болады:

53-сызба

Ал d — түзуі директриса болу үшін қатынасы х-ке тәуелді

болмау керек. Сөйтіп, радиус-вектордың гиперболадан директрисаға дейінгі қашықтыққа қатынасы әрқашанда эксцентритетке тең.

Ордината осінің сол жағындағы директриса да осы сияқты анықталады, тек оның алдыңғыдан айырмасы — теңдеуі минус таңбалы болады. Сонымен, директрисалар үшін мына қатынас орындалады:

Ал директрисалардың теңдеулері былайша жазылады:

(16)

немесе

d= (16’)

а² + b² = с² теңдігінен гипербола үшін с>а, < a. Сондықтан директрисалар гиперболаның екі тармағының арасында және центрдің екі жағында жатады.

9. Гиперболаның түзумен қиылысуы. Гиперболаның теңдеуі мен түзудің у = кх+l теңдеуі берілген. Осы екі теңдеуді біріктіріп шығарып, х-тің мәнін белгілі шамалар арқылы (а, b, к, l) іздейік:

- ,

Осы теңдеудің коэффициенті мен бос мүшесін белгілейік:

Сонда квадрат теңдеу былай жазылады:

Оның шешуі:

Дискриминант D= болсын. х-тің шешуі осы дискриминанттың мәніне байланысты болады. Мұнда үш түрлі жағдай болады: 1) D>0; 2) D = 0; 3) D 0.

Бірінші жағдайда х-тің екі түрлі мәніне y-тің екі мәні сәйкес келеді. Мұнда түзу гиперболаны екі нүктеден қияды.

Екінші жағдайда лхгің бір мәніне у-тің бір мәні сәйкес келеді. Мұнда түзу гиперболаға жанама болады. Бұл жағдайдағы түзудің гиперболаға жанама болу шартын табу үшін теңдігіне р мен q-дің жоғарғы мәндерін қоямыз:

Осы теңдеуді түрлендіріп, мынаны табамыз:

Бұл теңдік түзудің гиперболаға жанама болу шартын көрсетеді.

Енді жанасу нүктесінің координаталарын табу үшін 7-параграфтағы (12) және (13) теңдіктерге l-дің мәнін қояйық:

Осыдан жанасу нүктесінің координаталары табылады:

М₁М₂ хордасы жанама болу үшін М1(х₁ у₁), М₂(х₂, у₂) нүктелері беттесуге тиіс, яғни х₁=х₂ = х, = = у.