Асимптоты

Прямая называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к0 при удалении точки М вдоль какой-нибудь ветви кривой в бесконечность. Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Если по крайней мере один из пределов функции y = f(x) в точке а справа или слева равен бесконечности. Т.е, если

lim f(x)= ∞ или lim f(x)= ∞,

х→а+0 х→а+0

то прямая х=а является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты

Если существует конечный предел функции при х→ + ∞ или при х→ - ∞ т.е., если

lim f(x)= b или lim f(x)= c,

х→а+0 х→а-0

То прямая y=b (y=с), является горизонтальной асимптотой, при х→ + ∞ она называется правой, а при х→ - ∞ - левой.

Наклонные асимптоты

Если существуют пределы

lim f(x)/х= k₁ и lim [f(x) - k₁x]= b₁,

х→+∞ х→-+∞

то прямая у= k₁x +b₁ является наклонной (правой) асимптотой, аналогично

Если существуют пределы

lim f(x)/х= k₂ и lim [f(x) – k₂x]= b₂,

х→- ∞ х→- ∞

то прямая у= k₂x +b₂ является наклонной (левой) асимптотой.

Пример у = -5х/(х+2)

Решение: Кривая имеет вертикальную асимптоту х = -2, т.к.

lim -5х/(х+2) = + ∞, lim -5х/(х+2) = - ∞;

х→-2+0 х→-2-0

х = -2 – точка разрыва второго рода;

найдем горизонтальную асимптоту:

lim -5х/(х+2) = -5

х→± ∞

Данная кривая имеет горизонтальную асимптоту у = -5

Примеры № 10.93-10.96

Общая схема исследования функции и построение ее графика

1. Найти область определения функции;

2. четность, нечетность функции;

3. Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности. Промежутки знакопостоянства;

4. точки пересечения графика с осями координат;

5. Найти асимптоты графика функции;

6. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы;

7. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, ее точки перегиба;

8. Построить график функции используя результаты исследования.

Примеры № 10.112-10.119

Пример: исследовать функцию у =х²/(х+1)

1.D(y) =(- ∞,-1)U(-1, + ∞)

2. проверка на четность f(-x) = (-х)²/(-х+1) = х²/(1- х)

f(-x) ≠ f(x)

3. Функция обращается в 0 при х = 0 и терпит разрыв при х =-1. Полученными точками ООФ делится на три промежутка: (- ∞,-1), (-1,0) и (0, + ∞) в каждом из которых она сохраняет определенный знак, а именно:

На интервале (- ∞,-1) у <0

На интервале (-1,0) y > 0

На интервале (0, + ∞) y >0

4. Асимптоты:

Горизонтальная асимптота: lim х²/(х+1) = ± ∞

х→± ∞

Вертикальная асимптота lim х²/(х+1) = ± ∞

х→-1±0

Наклонная асимптота k = lim х²/x(х+1) = 1, b = lim [х²/(х+1) –x] = lim -х/(х+1) = -1

х→± ∞ х→± ∞ х→± ∞

Таким образом прямая у = х – 1 служит наклонной асимптотой графика.

5. найдем у′

у′ =[2х(х+1) - х²] / (x+1)² = (х²+2x)/(x+1)²=x(x+2)/(x+1)²

Производная у′ обращается в 0 при х = -2 и при х = 0 и терпит разрыв при х = -1. Этими точками числовая ось делится на четыре промежутка:

На промежутке (- ∞,-2) имеем у′ > 0

На промежутке (-2, -1) имеем у ′< 0

На промежутке (-1, 0) имеем у′ <0

На промежутке (0, + ∞) имеем у′ > 0

Следовательно в промежутках (- ∞,-2) и (0, + ∞) функция возрастает, а в промежутках (-2, -1) и (-1, 0) функция убывает. Точки х = -2 и х = 0,являются соответственно точками максимума и минимума.Находим значение функции в этих точках. у_мах=у(-2) = - 4; у_мin= у(0) =0

Найдем y″

y″ = (2х+2)(х+1)² – 2(х+1)( х² + 2х) = 2---

(х+1)⁴ (х+1)³

Вторая производная терпит разрыв при х = -1, этой точкой числовая ось делится на два промежутка: (- ∞,-1) и (-1, + ∞)

На промежутке: (- ∞,-1) y″ < 0, на этом промежутке кривая выпукла

На промежутке (0, + ∞) y″> 0, на этом промежутке кривая вогнута

Точек перегиба нет. Используя полученные данные строим график функции