Производная и дифференциал

Понятие производной

Опр.Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х, когда приращение аргумента стремится к 0.

у^⁄ = lim∆у/∆х

∆х→0

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в (.) х.

Нахождение производной функции f(x) называется дифференцирование этой функции.

Можно сказать, что производная у^⁄ функции y=f(x) в данной точке х представляет собой относительную скорость изменения функции в точке х. Например, если в некоторой точке х имеется у^⁄ = 2, то это означает, что на участке (х; х+∆х) функция у возрастает приблизительно в 2 раза быстрее, чем аргумент х, т.е. ∆у/∆х = 2, при этом данное приближение тем точнее, чем меньше ∆х.

Теорема:

Если функция имеет производную в точке х, то она обязательно непрерывна в этой точке.

Пр. Пользуясь определением производной найти производную функции у =х², у = 2х+5;

∆у = f(х+∆х) –f(x) = 2(х+∆х)+5-(2x+5)=2х+2∆х+5-2х-5=2∆х

у^⁄ = lim∆у/∆х = lim 2∆х/∆х=2

∆х→а ∆х→а

Пр. у =х², найти у^⁄.

Основные правила дифференцирования

Если f(x) и g(x) дифференцируемые функции, то:

1. С^⁄ = 0 производная постоянной функции равна 0

2. x^∕ = 1

3. (f(x)±g(x))^⁄= f^⁄(x)± g^⁄(x) производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

4. Производная произведения двух функций

[f(x)∙g(x)]^⁄=f^⁄(x)∙g(x)+f(x)∙g^⁄(x)

5. Производная частного от деления двух функций равна:

[f(x)/g(x)]^⁄= [f^⁄(x)∙g(x)+f(x)∙g^⁄(x)]/ g²(x)

6. Постоянный член можно выносить за знак производной

[С f(x)]^⁄=C[f^⁄x)]^⁄

Дифференцирование функций производят с помощью основной таблицы производных.

Пр. Найти производные следующих функций:

y = x⁵ – 9x⁴ + 5x² – 8

Решение:

y = 5x⁴ – 36x³ + 10x

При решении первого примера использовалась формула производной из таблицы производных y =xⁿ

y= nx^n-1

y = sinx / (1+2x)

y= (cosx (1+2x) - 2 sinx) / (1+2x)²

При решении второго примера используется правила дифференцирования: - y^ = (u/v)^ и производная функции (Sinx)^

Найти производные следующих функций:

1. y = 6x^-4+4 x^-3- 7x^-2 – 3x^-1 + 15

2. y = (x² +3x - 4) lnx

3. y = (9-2x) (2x³- 9x² + 1)

4. y = (2x - 3)/(3x + 7)

В первом примере для решения используется табличное значение производной по формуле:

y =xⁿ ; y= nx^n-1

Для решения второго примера применяются формулы из таблицы производных: y =xⁿ ; y= nx^n-1 ; y = lnx ; y= 1/х, и правило дифференцирования - y^ = (uv)^ .

Для решения третьего примера применяются формулы из таблицы производных: y =xⁿ ; y= nx^n-1 ; и правило дифференцирования - y^ = (u/v)^ .

Для решения четвертого примера применяются формулы из таблицы производных: y =xⁿ ; y= nx^n-1 и правило дифференцирования - y^ = (uv)^ .

Производная сложной функции

Опр.Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной.

Пусть у = f (u) ,u= u (x) дифференцируемые функции, тогда

y_x= y_u  u_x

Примеры: найти производные сложных функций:

1. y = sin (2x -1)

2. y = ln(3 x + 4)

Разбор примеров на доске.

1. y = sin (2x -1)

введем обозначение 2x-1=u, тогда

y= (Sinu)^u^_x

y= 2cos(2x-1)

2. y = ln(3 x + 4)

введем обозначение (3x + 4) =u, тогда

y= (lnu)^ u^_x

y= 3/(3x + 4)

Закрепление темы

Решить примеры:

1. y = (5x + 2)⁴

2. y = Ln (3x² –2x + 5)

3. y = 10^5-3x

4. y = cosx²

Решение:

1. y = (5x + 2)⁴

Введем обозначение: 5x + 2 = u

тогда y= (u⁴) ^  u^_x

y= 3(5x + 2)³5 = 15(5x + 2)³

2. . y = Ln (3x² –2x + 5)

введем обозначение: (3x² –2x + 5) =u, тогда

y= (lnu)^ u^_x

y= (6x-2)/(3x² –2x + 5)

3. y = 10^5-3x

Введем обозначение: 5 –3x = u

тогда y= (10^u)^ u^_x

y= (-3)  10^5-3x/ Ln10 = -310^5-3x/ Ln10

4. y = cosx²

Введем обозначение: x² = u

тогда y= (cosu)^ u^_x

y= sinx²2x = 2xsinx²