1. Найти нули и точки разрыва f(X).

2. Определить методом проб знак f(X) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(X).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = - х² + 10х + 7

Решение:

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f^(x). y = -2х +10

Точек разрыва производная y не имеет;

Найдем точки, в которых y = 0

-2х +10 = 0

-2х = -10

х =5

Точка, в которой y = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,5] y  0,

на промежутке[5 ,+ ∞) y  0

Следовательно на промежутке (– ∞,5] функция возрастает, а на промежутке [5 ,+ ∞) функция убывает.

Экстремум функции

Точка х= х₀ называется точкой максимума, функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х этой окрестности, кроме х₀ выполняется неравенство f(x)  f(x₀).

Точка х= х₀ называется точкой минимума, функции y = f(x), если существует такая окрестность точки х_0, что для всех х этой окрестности, кроме х₀ выполняется неравенство f(x)  f(x₀)..

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума.

Точка экстремума могут служить только критические точки 1-го рода., т.е. точки принадлежащие области определения функции в которых f^(x) = 0 или терпит разрыв.

Точками экстремума являются лишь те из критических точек, при переходе через которые первая производная меняет знак. А именно:

Если при переходе через критическую точку x₀ в положительном направлении f^(x) меняет знак с + на - , то точка x₀ есть точка максимума, если при переходе через критическую точку x₀ в положительном направлении f^(x) меняет знак с - на + , то точка x₀ есть точка минимума.

Пример:

Исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы функции.

У = х³ –6х² + 9х

Данная функция определена на всей числовой оси., т.е. D(y) = R

Найдем f^(x). y = 3 х² –12х +9

Точек разрыва производная y не имеет;

Найдем точки, в которых y = 0

3 х² –12х +9 =0 Найдем корни этого уравнения

y обращается в 0 при х₁ = 1, х₂ = 3,

Точки, в которой y = 0 делят область определения функции на следующие промежутки:

(– ∞,1), [1,3] И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,1] y  0,

на промежутке [1,3] y  0

на [3 ,+ ∞) y  0,

Следовательно на промежутках (– ∞,1]и[3 ,+ ∞) функция возрастает, а на промежутке [1,3]функция убывает.

Точка х=1 является точкой максимума функции. Точка х=3 является точкой минимума функции.

Найдем значения у_мах и у_мin функции. Для этого подставим в формулу функции значения х=3 и х=1

у_мin=27-54+27=0

у_мах=1-6+9=4

Задача на отыскание наибольшего или наименьшего значения функции

Задача 1 Разность двух чисел равна 13. Какие должны быть эти числа. Чтобы их произведение было наибольшим.

а=х

в=13-х

у =х(13-х)

y=13-х-х=13-2х

найдем критическую точку при y = 0;

13-2х =0

х= 6,5

на промежутке (- ∞;6,5) y  0,

на промежутке (6,5 + ∞;) y < 0

следовательно (.) 6,5 max функции.

у_мах=6,5(13-6,5)=42,25

а=6,5

в=6,5

Задача 2

Найти максимальную площадь участка при длине забора 124м

Дано стороны участка а и b, 2(а + b)=124, а + b= 62,

S=a∙b

Обозначим а=х; b=62-а

S=х(62-х)

S^⁄=62-х-х=62-2х

Найдем критическую точку, когда S^⁄=0;

62-2х=0, х=31, на уча

на промежутке (- ∞;31) y  0,

на промежутке (31 + ∞;) y < 0

S_мах=31(62-31)=961 м²

При этом стороны участка одинаковые а=31; b=62-31=31

Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба

Опр.Кривая называется выпуклой в некотором промежутке, если она расположена ниже касательной . проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Опр.Кривая называется вогнутой в некотором промежутке, если она расположена выше касательной . проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции y = f(x), характеризуется знаком второй производной f^∕∕(x), а именно, если в некотором промежутке f^∕∕(x) < 0, то кривая выпукла в этом промежутке, если в некотором промежутке f^∕∕(x) > 0, то кривая вогнута в этом промежутке.

Таким образом отыскание промежутков выпуклости и вогнутости графика функции

y = f(x) сводится к отысканию промежутков знакопостоянства ее второй производной f^∕∕(x).

Точка перегиба кривой называется точки, которые отделяют участки выпуклости от участков вогнутости. Это точки, абсциссы которых являются критическими точками второго рода, т.е. точки находящиеся внутри области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f^∕∕(x) обращается в 0 или терпит разрыв.

Точками перегиба являются лишь те из указанных точек, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Пр. Найти промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции:

у= х³ – 10х² + 36х

у^⁄=3х² -20х +36

у^⁄∕=6х -20

найдем точку перегиба:

у^⁄∕=6х -20=0

х = 20/6 =10/3= 31/3

на промежутке (– ∞,10/3) y″ < 0, функция выпукла

на промежутке (10/3,+ ∞) y″ > 0, функция вогнута