Производные высших порядков

Опр. Производная второго порядка (вторая производная) от функции

y = f(x) есть производная от ее производной.

Опр. Производная третьего порядка (третья производная) от функции

y = f(x) есть производная от ее второй производной.

Опр. Производная n-го порядка (n-я производная) от функции

y = f(x) есть производная от ее (n-1) производной.

Пр. Вычислить вторую производную от функции:

y = 1/ (x-1)

y = x sin2x

Решение примеров.

1. y = 1/ (x-1)

y = (x-1)^-1

y = -(x-1)^-2

у^∕∕= 2(x-1)^-3

2. y = x sin2x

y= sin2x + 2хcos2x

у^∕∕=2cos2x + 2cos2x - 4хsin2x = 4cos2x - 4хsin2x

Пр.8.322-8.326

Геометрический смысл производной и понятие дифференциала функции

Производная функции y=f(x) равна tg(α), f^⁄(x) = tg(α), где tg(α), есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в (.) х,

Уравнение касательной выглядит следующим образом:

у – у_о = у^⁄ (х₀)(х- х₀)

Дифференциал функции

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется главная часть ее приращения, п пропорциональная приращению ∆х независимой переменной.

Дифференциалом dx независимой переменной х называется ее приращение ∆х.

Дифференциал любой дифференцируемой функции y=f(x) равен произведению производной на дифференциал независимой переменной.

dy = y(x)dx

y(x) = dy/dx

если ∆х мала, то ∆у = dy

у(х+∆х) =у(х) + ∆у = у(х) + dy = у(х) + y(x) dx

рис.

Найти ∆у и dy функции у = х² –х+1 при х = 3, ∆х = 0,01

∆у = у(х+∆х) - у(х) = (х + ∆х)²- (х +∆х) + 1 – (х² –х+1) = 3,01²- 3,01+ 1 - 9 + 3 -1=

= 9.061-3,01-6 = 0,0501

dy = y(x)dx = (2х – 1)dx =0,05

Задача:

На сколько изменится сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м² до 15,82 м²

S = y². где у- сторона квадрата

у =√S, найти ∆у

∆S = 16-15,82 = 0,18

∆у ≈ dy = y∙dS, dS≈ ∆S,

Dy = (1/2√S)∙∆S = (1/2√16)∙0,18 = 0,18/8 = 0,0225

Исследование функции с помощью производной

Понятие функции

Величина у называется функцией переменной величины х , если каждому из тех значений , которые может принимать х, соответствует одно или несколько определенных значений у, при этом х называют аргументом.

Область определения функции (ООФ)

Совокупность всех значений, которые может принимать аргумент х функции у.

Способы заданий функции

- аналитический

-графический

- параметрический

Область значений функции (ОЗФ)

Все значения, которые принимает функция там, где она определена.

Промежутки монотонности функции

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие . так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f^(x), а именно, если в некотором промежутке f^(x)  0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f^(x)  0, то функция убывает в этом промежутке.

Отыскание промежутков монотонности функции y = f(x) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее первой производной f^(x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)