Непрерывность и точки разрыва

1. Приращение аргумента и приращение функции

Если х₁ и х₂ –значения аргумента х, а f(x₁) и f(x₂) значения функции y=f(x), то ∆х= x₂ – x₁, называется приращением аргумента на отрезке [x_{2 ,} x₁], а величина ∆у= f(x₂) - f(x₁)=f(x+∆х) –f(x) , ∆у – приращение функции на этом отрезке.

Пример:

Вычислить приращение аргумента и приращение функции у=х²-2х+3

а) от х₁=0 до х₂=1;

б) от х₁=-1 до х₂=3;

а) ∆х= x₂ – x₁ =1- 0 = 1; ∆у = 1-2+3-3= -1

б) ∆х= x₂ – x₁ = 3-(-1) = 4; ∆у = 9-6+3-(1+2+3) = 0

пр. 7.175; 7.178-7.180

Первое определение непрерывности

Функция y=f(x) называется непрерывной в (.) х= а, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке, соответствует бесконечно малое приращение функции.

lim ∆у = 0

∆х→а

Второе определение непрерывности

Функция y=f(x) называется непрерывной в (.) х= а, если:

- она определена в (.) х= а, т.е существует ее значение в (.) х= а, равное f(а);

- существует конечный предел функции в этой точке, т.е. lim f(x)= А;

х→а

- этот предел равен значению функции в (.) х= а, т.е. . lim f(x)= А= f(а).

х→а

Примером непрерывности функции может служить любая элементарная функция. Которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Точка х=а называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция определена в некоторой окрестности точки х= а, но в самой точке х= а не удовлетворяет условию непрерывности.

Точки разрыва функции делятся на два типа. К точкам разрыва первого рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы (левый и правый предел).

К точкам разрыва второго рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

Точки разрыва первого рода делятся в свою очередь на точки. В которых разрыв устраним, когда lim f(x)= lim f(x) ≠ f(а) х→а-0 х→а+0

И на точки скачка функции, когда lim f(x)= lim f(x) ≠ f(а)

х→а-0 х→а+0

а разность f(а+0) - f(а+0) называется скачком функции в точке х= а.

Пр. Исследовать функцию на разрыв у = 1/(х+3)

ООФ функция определена при х€ ( -∞;-3 ) (-3; +∞)

Найдем левый и правый пределы

lim 1/(х+3) = - ∞

х→-3-0

lim 1/(х+3) = + ∞

х→-3+0

Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х=-3, т.к. левый и правый пределы бесконечны.

Рис.

Пр. Исследовать функцию на разрыв у =1/(1+2^1/х)

ООФ х ≠ 0

lim 1/(1+2^1/х) = 1

х→-- 0

lim 1/(1+2^1/х) = 0

х→-+ 0

Данная функция имеет разрыв первого рода в точке х=0, так-так левый и правый придел имеют конечные значения. Имеется скачек функции.

Рис.

Пр. Исследовать функцию на разрыв у = 1/(х+5)²

ООФ функция определена при х€ ( -∞;-5 ) (-5; +∞)

Найдем левый и правый пределы

lim 1/(х+5)² = + ∞

х→-5-0

lim 1/(х+5)² = + ∞

х→-5+0

Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х = -5, т.к. левый и правый пределы бесконечны.

Рис.

П р. Исследовать функцию на разрыв

х при х ≤ 0

х² при 0 < х ≤ 1

x +1 при х >1

Найдем левые и правые приделы в точках изменения функции:

lim х²= 1 lim х+1= 2 lim х²= 0 lim х = 0

х→1—0 х→1+ 0 х→+ 0 х→- 0

Функция имеет разрыв 1-го рода со скачком функции в точке х =1

Рис.

Пр . Исследовать функцию на разрыв у =3^1/х

ООФ х ≠ 1

Найдем левые и правые приделы

lim 3^1/х = 0

х→- 0

lim 3^1/х = +∞

х→+0

Данная функция имеет разрыв второго рода в точке х = 0, т.к. правый предел бесконечен.