Лекция 2 Теория пределов Числовая последовательность

Числовая последовательность – это множество нумерованных чисел, расположенных в порядке возрастания номеров, т.е. каждому натуральному числу (номеру последовательности) поставлено в соответствие определенное число (член последовательности).

Х_п = f(n) каждый член последовательности есть некоторая функция своего номера.

Числовая последовательность задается формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей:

Х_п = 2n – 1; х₁=1, х ₂ =3, х ₃=5…..

Х_п = n / (2n + 1); х₁=1/3, х ₂ =2/5, х ₃=3/7, х₄=4/9, х ₅ =5/11, х ₆=6/13… → ½

Х_п = n / (n + 1); х₁=1/2, х ₂ =2/3, х ₃=3/4, х₄=4/5, х ₅ =5/6, х ₆=6/7… → 1

Х_п = (n+1) / n; х₁=2, х ₂ =3/2, х ₃=4/3, х₄=5/4, х ₅ =6/5, х ₆=7/6… → 1

Х_п = (1+(-1)ⁿ) / n; 0; 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; ¼……→ 0

1+ (-1)^n-1) / n; 1+1/1; 1-1/2; 1+1/2; 1-1/4…..→ 1

_______,_____,__,__,____ ,____,________________,__

1/2 3/4 5/6 1 1+1/5 1+1/3 2

С ростом n члены последовательности стремятся к 1

Опр. Число b называется пределом числовой последовательности Х_{п, ,} если по мере возрастания номера n, Х_п, стремится к b

lim X_n = b

n→∞

Рассмотрим модуль разности │Х_п -1│=│1+(-1)^n-1) / n -1│=│(-1)^n-1) / n │= 1/ n

С ростом n абсолютное значение разности уменьшается.

При n = 10 абсолютное значение разности 1/n = 1/10 и начиная с 11 члена последовательности абсолютное значение разности будет < 0,1.

При n = 100 абсолютное значение разности 1/n = 1/100 и начиная с 101 члена последовательности абсолютное значение разности будет < 0,01.

Таким образом, какое бы малое положительное число έ мы не взяли, найдется такой номер последовательности (N₀), что для всех членов последовательности с N > N₀ , будет выполнятся неравенство │Х_п - b│< έ ,

Т.е. все члены нашей последовательности принадлежат промежутку

(1 – έ ; 1+ έ ), 1- έ < Х_п, < έ + 1

Опр. Число b называется пределом числовой последовательности Х_п,, если для всякого έ >0 существует номер N(έ), что при всех n>N выполняется неравенство │Х_п - b│< έ

Предел функции

Опр. Число А называется пределом функции f(x) при х→а, если по мере приближения х к а, f(x) приближается к А.

lim f(x)= А

х→а

Опр. Число А называется пределом функции f(x) при х→а, если для любого έ >0 , существует δ >0 такое, что при 0<│х - а│< δ, выполняется неравенство

│ f(x) - b│< έ

Вычисления пределов.

Основные теоремы:

Опр. Предел постоянной величины – есть величина постоянная.

LimС = С

х→а

Если существуют f₁(x) и f₂(x), то

lim f₁(x) ± f₂(x)= limf₁(x) ± limf₂(x)

х→а х→а х→а

lim f₁(x)•f₂(x)= lim f₁(x) •lim f₂(x)

х→а х→а х→а

lim f₁(x) ∕ f₂(x)= lim f₁(x) ∕ lim f₂(x) ; lim f₂(x) # 0

х→а х→а х→а х→а

пример.

Найдем придел функции (4х² -1)/(2х-1)

lim (4х² -1)/(2х-1) = (2х-1)(2х+1)/(2х-1) =13,

х→6

функция определена в точке х=6

lim (4х² -1)/(2х-1) = (2х-1)(2х+1)/(2х-1) =2

х→1/2

Функция не определена в (.) х = ½, однако предел функции в этой точке существует и равен 2.

Предполагается, что функция определена во всех точках промежутка, содержащего точку х =а, в самой же точке функция либо определена. Либо не определена.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Опр.Функция f(x) называется бесконечно малой (Б.М.)при х→а, если

lim f(x)= 0

х→а

пр. lim х² -4 =0 - Б.М.

х→2

lim х² -4 =-3 не является - Б.М.

х→1

Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой , если

lim f(x)= ∞ Б.Б.

х→а

Аналогично определяются Б.М. и Б.Б. функции при х→∞.

Между Б.М. и Б.Б. функциями существует тесная связь, которая выражается следующими теоремами.

1. Функция обратная по величине бесконечно большой, является бесконечно малой величиной.

2. Функция обратная по величине бесконечно малой. Называется бесконечно большой величиной.

3. Бесконечно малые величины обладают следующими свойствами:

1. Сумма или разность двух бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

2. Произведение Б.М. функции на функцию ограниченную Х на постоянную или Б.М. функцию есть функция бесконечно малая.

Бесконечно большие функции обладают следующими свойствами:

1). Сумма Б.Б. функции и функции ограниченной есть функция Б.Б. того же знака.

2). Сумма двух бесконечно больших функций одинакового знака есть функция бесконечно большая.

3). Произведение Б.Б. функции на Б.Б. функцию есть функция Б.Б.

Техника вычисления пределов

Подставить значение, к которому стремиться х в функцию. Если предел вычисляется, то полученное значение и будет пределом данной функции.

Чему равен предел: Lim

_х→1

Если предел не вычисляется, то надо применить определенную технику

Могут возникнуть неопределенности: ∞/∞; 0/∞; 0/0 и т.д.

1. Деления на максимальную степень.

Чему равен предел: Lim

х→ ∞

2. Разложение квадратного трехчлена на множители

Чему равен предел: Lim

х→ -2

Левый и правый предел функции

Опр. Если число А₁ есть предел функции при х→а, так, что х принимает только значения > a, то число А₁ называется правым пределом функции.

lim f(x)= А₁

х→а+0

аналогично:

Опр. Если число А₂ есть предел функции при х→а, так, что х принимает только значения < a, то число А₂ называется левым пределом функции.

lim f(x)= А₂ Если А₁ = А₂= А, то это предел функции

х→а-0

Примеры :В. А. Подольский № 7.46,7.47;7.48;7.51

Пр. Найти придел функции у = 1/(х+2)

lim 1/(х+2) = - ∞

х→-2-0

lim 1/(х+2) = + ∞

х→-2+0

Найти придел функции у = х/(х-3)

lim х/(х-3) = + ∞ lim х/(х-3) = - ∞

х→-3-0 х→-3+0