8.5. Похідна степеневої і показникової функцій.

Теорема 8.8. Похідна функції , де – довільне дійсне число, дорівнює , тобто

.

Доведення. Логарифмуючи функцію на її області визначення, отримаємо

(8.2)

Продиференціюємо обидві частини рівності (8.2) маючи на увазі, що і є складною функцією:

або

Теорема 8.9. Якщо , де a>0, то .

Доведення. Прологарифмуємо функцію :

.

Диференціювання останньої рівності дає

або

Наслідок. 8.9. Якщо , то

Теорема 8.10. Якщо , де і , то

.

Доведення. Прологарифмуємо функцію :

.

Диференціювання останньої рівності дає

або

;

Приклад 8.3. Знайти похідну функції .

Розв’язування. За теоремою 8.10 отримуємо

.

8.6. Поняття оберненої функції та її похідна.

Розглянемо зростаючу функцію , визначену на деякому інтервалі , і нехай . Оскільки функція зростаюча, то для двох довільних значень х₁ і х₂ з інтервалу , таких що x₁<x₂ , виконуватиметься нерівність . Тобто двом різним значенням х₁ і х₂ змінної х відповідатимуть різні значення у₁ і у₂ змінної у. Справедливе і обернене твердження: якщо y₁<y₂ і , , то х₁<x₂ . Отже, між значеннями змінних х і у встановлена взаємно однозначна відповідність.

Якщо тепер значення змінної розглядати як значення аргументу, а значення х як значення функції, то можна записати: .

Функція називається оберненою для функції . Очевидно, що функція є оберненою для функції . Аналогічні міркування справедливі і для спадної функції. Зауважимо (без доведення): якщо монотонна функція неперервна на відрізку , причому , то обернена функція визначена і неперервна на відрізку . Якщо функція не є монотонною на деякому інтервалі, то на цьому інтервалі вона може мати декілька обернених функцій.

Приклад 8.4. Функція – зростаюча на проміжку . Вона має обернену функцію .

Приклад 8.5. Функція – зростаюча на проміжку і має обернену функцію на проміжку або (–1;1).

Приклад 8.6. Функція визначена на проміжку , але не є на ньому ні зростаючою, ні спадною. Вона зростає на проміжку , тому тут існує обернена функція . На проміжку функція спадна і також має обернену функцію, але .

Розглянемо диференціювання оберненої функції.

Теорема 8.11. Якщо для функції існує обернена функція , яка в точці у має відмінну від нуля похідну , то у відповідній точці х функція має похідну , що дорівнює , тобто справедлива формула

, (8.3)

Доведення. Продиференціюємо обидві частини рівності по змінній х , враховуючи, що у є функцією від х , тобто :

(8.4)

або

.

Рівність (8.4) отримали з використанням теореми 8.7 для складної функції .

Таким чином, теорему доведено

Зауваження 8.1. Після диференціювання по змінній у в функції необхідно перейти до змінної х , тобто підставити замість у вираз .