2. Рівняння Бернуллі для потоку ідеальної та реальної рідини.
Основною задачею гідродинаміки є знаходження швидкості V і тиску Р.
Тобто Vx=f(x, y, z, t)
Vy=f(x, y, z, t)
Vz=f(x, y, z, t)
P=f(x, y, z, t)
Цю задачу можна розв’язати двома способами – це примінення методів Лагранжа і Ейлера.
Метод Лагранжа дуже складний, тому вибираємо метод Ейлера.
Потік в цілому в даний момент часу представлений векторним полем швидкостей, що відносяться до нерухомих точок простору.
За основу приймаємо (3) р-ня гідродинаміки – Ейлера для ідеальної рідини.
X
-1/
*
Px/
x=0
Y-1/ * Py/ y=0 (9)
Z-1/ * Pz/ z=0
За принципом Д’Аламбера вводимо в ці рівняння сили інерції, які дають на одиницю маси:
Ix=
- I dVx/dt;
Iy=-I
dVy/dt; Iz=-I dVz/dt.
Сили інерції мають напрямок протилежний прискореню.
d
Vx/dt;
dVy/dt;
dVz/dt
– це проекції прискорення на відповідні
осі координат. До рівняння спокою додаємо
повні похідні сил інерції і одержуємо
наступні рівняння:
X-1/ * Px/ x=dVx/dt
Y-1/ * Py/ y=dVy/dt (10)
Z-1/ * Pz/ z=dVz/dt
Але цих рівнянь недостатньо для визначення 4-х невідомих тому, ще було використано рівняння нерозривності потоку:
dVx/dt+dVy/dt+dVz/dt=0 (11)
Рівняння Бернуллі є одним з найважливіших в гідравліці. Воно було одержане академіком Петербургської академії наук Данилом Бернуллі в 1738 році.
Рівняння Бернуллі вказує на взаємозв’язок між координатою частки Z, тиску P1 швидкістю u в різних перерізах струминки рідини.
(12)
,
(13)
Z – геометрична висота положення, геометричний напір і питома потенційна енергія положення
-
п’єзометрична висота, відповідає
повному тиску, п’єзометричному напору
і є питомою потенційною енергією тиску
-
швидкісна висота, швидкісний напір,
питома кінетична енергія.
Порівнюючи
це рівняння з основним рівнянням
гідростатики
,
бачимо, що останнє представляє собою
приватний випадок механічного стану
рідини – спокій рідини (u
= 0).
Таким чином, для всіх точок даної лінії току або для любого перерізу сума трьох висот – положення, п'єзометрична, швидкісна;
– або сума трьох напорів: геометричного, п'єзометричного, швидкісного;
– або сума трьох питомих енергій: потенційної енергії положення,тиску і кінетичної – Є величина постійна.
Позначимо постійну величину const через Н і запишемо рівняння Бернуллі:
(14)
Оскільки всі члени рівняння мають розмірність довжини, то кожен з них можна виразити в вигляді відрізка відповідного розміру.
Якщо умовитися відкладати над кожною точкою перерізу, що лежить на середній лінії струминки п’єзометричний а потім швидкісний напори, то геометричне місце кінців сум цих відрізків розміститься на напірній площині, яка знаходиться над площиною зрівняння на висоті Н, (Н дорівнює сумі трьох відрізків – гідродинамічний напір).
На рисунку показано, що зі зміною перетину струминки змінюється швидкісний напір , що веде до зміни п’єзометричного напору , при цьому взаємна зміна проходить таким чином, що сума всіх напорів, тобто гідродинамічний (Н) залишається постійним.
З фізичної точки зору рівняння Бернуллі відображає закон збереження енергії, відкритий М.В. Ломоносовим :
Епит = Еп + Ек (15)