21. Ортогональные операторы. Теорема о критериях ортогонального оператора (б/д). Свойства ортогонального оператора и его матрица.

Пусть . Оператор называется ортогональным, если скалярное произведение .

Следующие утверждения равносильны:

1) - ортогональный оператор;

2) переводит ортонормированный базис в ортонормированный (образы базисных элементов снова образовывают ортонормированный базис).

3) (Сопряженный оператор совпадает с обр. оператором).

Свойства:

1. Тождественный оператор ортогонален;

2. Произведение ортогональных операторов является ортогональным

3. Обратный оператор к ортогональному также является ортогональным.

4. Пусть - ортогон., - ортогональн., где это равносильно тому что

Теорема. Для того чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональна.

Матрица ортогонального вектора. Для ортогонального оператора (по определению). Если А – матрица , то . Для матриц (у ортогонального оператора обратной матрицей явл. Трансформированная матрица): .

Свойство матрицы :

Произведение всякого столбца этой матрицы на себя равно 1 , а произведение всякого столбца на другой столбец равно 0 . Такие матрицы называются ортогональными. Столбцы ортогональной матрицы могут служить базисом соответствующего Евклидова пространства.

23. Собственные значения и собственные векторы матриц. Их свойства.

Пусть , ,

Число называется собственным значением, а - собственным вектором матрицы , если выполняется свойство . Множество всех собственных значений матрицы называется спектром матрицы .

Свойства:

1) Если - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному значению , то также собственный вектор, отвечающий собственному значению .

Д-во:

- удовлетворяет определению собственного вектора при .

2) Если матрица невырожденная, то все собственные значения не равны 0.

Д-во:

Предположим что 0 не является собственным значением.

- ненулевое решение, - невырожденная. .

3) пусть - невырожденная матрица, - собственный вектор, - соответствующее собственное значение. Тогда является собственным вектором матрицы , отвечающим собственному значению .

- собственный вектор для матрицы , - собственное значение.

4. Если - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному значению , то всякая линейная комбинация ( - числа), так же является собственным вектором, отвечающий тому же собственному значению .

5. - собственные векторы, отвечающие (собственные значения), тогда система векторов является линейно независимой. (Можно доказать по индукции).

Замечание: имеет различных собственных значений, то сущ. базис пространства ,сост. из собственных векторов матрицы .

24. Теорема о собственных векторах, отвечающих различным собственным значениям матрицы.

25. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы. Вычесление собственных значений и собственных векторов.

Из определения преобразуем и получим ; ; .

Данное равенство можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений с квадр. матрицей . Т.к. , то существует нетривиальное решение данной системы. Определитель матрицы равен 0 .

После вычисления определитель полуил. (*) , где - многочлен степени . Уравнение (*) называется характеристическим уравнением матрицы , а многочлен - характеристическим многочленом. Собственное значение матрицы является корнями характеристического уравнения. Надя корни характеристического уравнения и подставив их в , можно найти собственный вектор.