13. Матрица Грамма. Скалярное произведение и координаты векторов в ортонормированном базисе.

Пусть - базис. .

Матрица Грамма, состоящая из всевозможного скалярного произведения всевозможных базисных векторов. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

Свойства:

1. Симметрична

2. Если базис ортогональный, то матрица диагональна

3. Если базис ортонормированный, то матрица единичная

.

В ортонормированном базисе координаты всякого вектора равны скалярному произведению данного вектора на базисный.

Если , то .

По аналогии с геомет. векторами,

- проекция вектора x на направление базисного вектора .

,если - столбцы координат векторов , то .

17. Сумма, умножение на число и произведение линейных операторов. Их свойства и матрицы.

Определим сумму этих операторов следующим образом:

определим произведение числа на оператор :

матрицы

Замечание: множество - само является линейным оператором относительно введенных операций.

Пусть .

Рассмотрим композицию операторов. Такая композиция называется произведением двух данных операторов: .

Свойства введенных операций: .

Пусть А - матрица оператора , В – оператора . . Матрицей произведения будет произведение этих матриц .

Доказательство: Выберем элемент .Каждому элементу можно поставить в соответствие столбец координат: . ;

.

18. Обратный оператор. Его существование и линейность. Матрица обратного оператора.

Пусть . Будем считать, что (размерность). - невырожденный оператор, т.е. .

Невырожденный оператор имеет невырожденную матрицу, т.е., если А – матрица этого оператора, то матрица невырожденная .

Отметим, что осуществляет взаимно однозначное отображение между векторами пространства и . Это значит, что разные векторы имеют различные образы. Действительно, предположим что . Т.к. - невырожденная, то , т.е. . Учитывая, что , образ - это все пространство . Тогда для каждого , существует единственный верный элемент такой, что можно определенно отображать . , где .

- свойства обратного отображения.

Можно показать, что отображение является линейным.

.

- обратный оператор к оператору . Если А – матрица оператора , то имеет матрицу . .

19. Сопряженные операторы. Теорема о существовании, единственности и линейности (б/д). Свойства сопряженного оператора и его матрица. Самосопряженные операторы.

Пусть - размерность. Определитель называется сопряженным к оператору , если , если для .

Теорема: Сопряженный оператор для всякого оператора существует единственный и линейный.

Свойства:

.

Матрица сопряженного оператора. Пусть имеет матрицу А; имеет матрицу в матричном виде: , - столбцы координат. .

(из свойств скалярного произведения).

Таким образом, матрица сопряженного оператора равна трансформированной матрице исходного оператора.

называется самосопряженной, если . Матрица у такого оператора симметрична.