1.Определение линейного векторного пространства и следсвия из аксиом.

Множество V, в котором определены операции сложения( внутренняя операция) его элементов и умножения (внешняя операция) элементов множества на произвольные числа из R и эти операции удовлетворяют указанным выше аксиомам, называются вещественным линейным или векторным пространством.

Аксиомы:

1. x+y = y+x

2. 

3. в множестве V существует элемент ( который будем называть нулевым и обозначать О ), такой, что x+О = x

4. Для каждого элемента существует элемент( который будем называть противоположным элементу x и обозначать –x), такой, что .

5. Для любого 1x = x.

6. 

7. 

8. .

2. Определение подпространства линейного векторного пространства, критерий подпространства. Примеры подпространства.

Множество элементов линейного пространства называется подпространством пространства, если выполняются следующие условия:

1. В множестве операции сложения элементов и умножения элемента на число определяются так же, как в множестве V.

2. если x, ,то ;

3. если , то , где - вещественное число, когда V- вещественное пространство, и комплексное, когдаV- комплексное.

Теорема: Пусть , где V- линейное пространство, является подпространством, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. ( т.е. операция сложения должна быть замкнута на )

2. ( т.е. операция умножения на число замкнута на )

Доказательство: Все аксиомы, кроме 3., 4., выполняются очевидным образом, поскольку они верны не только для множества , но и для всего множества , содержащее .

3. Определение и свойства линейной зависимости и независимости векторов линейного пространства. Критерий линейной зависимости.

Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов является нулевым вектором, и линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, которая является нулевым вектором.

Свойства:

1. Если совокупность векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

2. Если к линейно зависимой совокупности векторов добавить еще один вектор, то получиться линейно зависимая совокупность. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

3. Если из линейно независимой совокупности удалить какой – либо вектор, то получится линейно независимая совокупность.

Теорема: Совокупность векторов линейного пространства зависима, тогда и только тогда, когда в ней существует вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов.

Если все коэффициенты линейной комбинации векторов равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной и представляет собой нулевой вектор. Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то комбинация векторов называется нетривиальной.

4. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе и их единственность.

Максимальный набор линейно независимых векторов конечномерного пространства называется базисом этого ространства. Нетрудно видеть, что различные базисы данного пространства имеют одинаковое число векторов, это количество векторов в базисе называется размерностью данного пространства.

Теорема: Совокупность линейно независимых векторов линейного пространства является базисом тогда и только тогда, когда для любого вектора x из V является линейной комбинацией векторов.

Доказательство: Пусть - базис и докажем, что x- является линейной комбинацией базисных векторов. Рассмотрим набор векторов - данная совокупность векторов линейной зависимости, потому что в ней больше векторов чем в базисе. Значит существуют числа не все равные нулю, такие что . Утверждаем что число не может быть равным нулю. Действуя в противоположном направлении мы получим , причем существует из начального набора векторов - линейно зависимы и поэтому не являются базисом, тогда (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

.