3. Кратные корни
Теорема Безу. Многочлен f(x) делится на x-c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.
Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-c. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде:
f(x)= (x-c) q(x)+ r.
Положив в этом тождестве x= c, получим что f(c)=r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x- c равен значению многочлена при x=c.
С помощью теоремы Безу решим несколько задач.
Пример
1.
Решить уравнение
.
Многочлен
f(x)=
имеет корень 2. По теореме Безу f(x)
делится
на x-2,
то есть имеет место равенство
.
|
Остается
решить квадратное уравнение
.
Это уравнение не имеет действительных корней, так что x=2 – единственный действительный корень исходного уравнения.
2.
Решить уравнение
.
Многочлен
f(x)=
имеет корень -2. По теореме Безу f(x)
делится
на x+2,
то есть имеет место равенство
.
|
0
Остается
решить квадратное уравнение
.
Это уравнение имеет корень 1. Так что x=-2 и x=1 – корни исходного уравнения.
Если
c
– корень многочлена f(x),
то есть f(c)=0,
то f(x)
делится
на x-c.
Может оказаться, что многочлен f(x)
делится не только на первую степень
линейного двучлена x-c,
но и на более высокие его степени. Во
всяком случае, найдется такое натуральное
число k,
что f(x)
нацело
делится на
,
но не делится на
.
Поэтому
,
где
многочлен
на x-c
уже
не делится, то есть число с
своим корнем не имеет. Число
k
называется кратностью
корня
c
в
многочлене f(x),
а сам корень c
–
k-
кратным корнем этого
многочлена. Если k=1,
то говорят, что корень с
–
простой.
4. Производная от многочлена
Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена. Мы изучаем многочлены с любыми комплексными коэффициентами и поэтому не можем просто воспользоваться понятием производной, введенным в курсе математического анализа. То, что будет сказано ниже, следует рассматривать как независимое от курса анализа определение производной многочлена.
Пусть дан многочлен n–ной степени
f(x)=
с любыми комплексными коэффициентами. Его производной (первой производной) называется многочлен (n- 1)-й степени
Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Производная от первой производной называется второй производной от многочлена f(x) и обозначается через f“(x) . Очевидно, что
и
по этому
,
то есть (n+1)-я
производная от многочлена n–й
степени равна нулю.
Свойства, являющиеся формулами дифференцирования для суммы и произведения:
1.
(4.1)
2.
(4.2)
Эти формулы легко проверить, впрочем, непосредственным подсчетом, беря в качестве и два произвольных многочлена и применяя данное выше определение производной.
Формула (4.2) распространяется на случай произведения любого конечного числа множителей, а поэтому выводится формула для производной от степени:
3.
(4.3)
Доказательство. Используем метод математической индукции.
.
Если
число с является k
–кратным корнем многочлена f(x),
то при k>1
оно будет (k-1)–кратным
корнем первой производной этого
многочлена; если же k=1
, то с не будет служить корнем для
.
В самом деле, пусть
,
,
(4.4)
где уже не делится на х-с. Дифференцируя равенство (4.4), получаем:
.
Первое
слагаемое суммы делится на х-с,
а второе на х-с
не
делится; поэтому вся эта сумма на
х-с
не может делиться. Учитывая, что частное
от деления f(x)
на
определено однозначно, мы получаем, что
является наибольшей степенью двучлена
х-с,
на которую делится многочлен
.
Применяя
эту теорему несколько раз, мы получаем,
что k-кратный
корень многочлена f(x)
будет (k-s)-кратным
в s-й
производной этого многочлена
и впервые не будет служить корнем для
k-й
производной от f(x).
Пример. Найти производную многочлена .
.
Я составила программу для нахождения первой производной многочлена.
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, Grids;
type
TForm1 = class(TForm)
Edit1: TEdit;
Label1: TLabel;
SGd1: TStringGrid;
Label2: TLabel;
Button1: TButton;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
c,i,st:integer;
k,l,s:string;
kof:array[0..100] of integer;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
st:=StrToInt(Edit1.Text);
for i:=0 to st do begin
if SGd1.Cells[i,0]<>'' then
kof[st-i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,0])
else MessageDlg ('Внимание! Не введены значения коэффициентов!',mtWarning,[mbOK],0);
end;
s:='f(x)=';
for i:=st downto 0 do begin
if kof[i]<>0 then begin
if(kof[i-1]<0)or(i=0) then begin
str(kof[i],l);
str(i,k);
s:=s+l+'x^'+k;
end
else begin
str(kof[i],l);
str(i,k);
s:=s+l+'x^'+k+'+';
end;
end;
kof[i]:=kof[i]*i;
end;
Edit2.Text:=s;
s:='f1(x)=';
for i:=st downto 0 do begin
if kof[i]<>0 then begin
if(kof[i-1]<0)or(i=1) then begin
str(kof[i],l);
str(i-1,k);
s:=s+l+'x^'+k;
end
else begin
str(kof[i],l);
str(i-1,k);
s:=s+l+'x^'+k+'+';
end;
end;
Edit3.Text:=s;
end;
end;
end.
