4.3. Закон полного тока и закон Ома для магнитных цепей

Основным законом, используемым при расчетах магнитных цепей, является закон полного тока.

Он формулируется следующим образом: линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов (полному току), охватываемых этим контуром.

(4.10)

Ток I, пронизывающий контур l считается положительным, если принятое направление обхода контура и направление этого тока связаны правилом правоходового винта (буравчика). Например, на рис. 4.14а для контура, охватывающего три проводника с токами

(4.11)

а б

Рис. 4.14. Закон полного тока

Если контур интегрирования охватывает катушку с числом витков w, через которую замыкается ток I (рис. 4.14б), то по закону полного тока

(4.12)

Закон полного тока является одним из важнейших законов, устанавливающим неразрывную связь между электрическим током и магнитным полем. Из него следует, что любая магнитная линия обязательно охватывает электрический ток,а электрический ток всегда окружен магнитным полем.

Закон полного тока позволяет выполнять расчет и анализ магнитной цепи. Рассмотрим магнитную цепь, изображенную на рис. 4.15. Пользуясь законом полного тока, определим соотношение между током в обмотке I и магнитным потоком в магнитопроводе Ф.

Рис. 4.15. Простая однородная магнитная цепь

Ферромагнитный магнитопровод в виде правильного тороида имеет одинаковую площадь поперечного сечения S_м; l_м – длина средней силовой линии магнитного поля в магнитопроводе. Источником магнитного поля служит электрическая обмотка, размещенная на тороиде. Каждый виток обмотки охватывает магнитопровод. Количество витков обмотки - w. По обмотке протекает постоянный ток I. Ток каждого витка пронизывает контур, определяемый средней силовой линией. При этом сумма токов, пронизывающих контур, определяется произведением тока в обмотке I и числа витков w. Магнитный поток в тороиде замыкается по его средней силовой линии l_м. Магнитное поле в тороиде однородное, т.е. как по сечению, так и по длине силовой линии магнитная индукция и напряженность магнитного поля одинаковы.

Так как магнитное поле однородное, то есть напряженность H постоянна, и направление токов в витках внутри средней силовой линии одинаково, то уравнение (4.10) можно записать в следующем виде:

, (4.13)

тогда значение интеграла будет равно длине средней силовой линии l_м. В результате – уравнение закона полного тока для рассматриваемой магнитной цепи имеет вид

(4.14)

и напряженность магнитного поля можно определить следующим образом:

. (4.15)

Выразим величину магнитного потока через напряженность магнитного поля

, (4.16)

где Φ – магнитный поток, Вб;

B – индукция магнитного поля, Тл;

S – площадь поперечного сечения тороида, м²;

μ₀ =4π 10^-7 Гн/м – абсолютная магнитная проницаемость;

μ – относительная магнитная проницаемость материала тороида.

Выразим H через магнитный поток и подставим в выражение (4.15).

; (4.17)

После несложных преобразований получим выражение для магнитного потока:

. (4.18)

Выражение (4.18) определяет связь между магнитным потоком Ф, характеризующим интенсивность магнитного поля в рассматриваемой магнитной цепи, и током в обмотке I, определяющим интенсивность источника магнитного поля в этой магнитной цепи.

Произведение тока в обмотке на ее число витков (числитель в выражении (4.18) ) определяет интенсивность источника магнитного поля и получило название магнитодвижущей силы (МДС) F:

. (4.19)

Единица имерения МДС Ампер [A].

Знаменатель выражения (4.18) определяется характеристиками магнитопровода, т.е. его геометрическими размерами и свойствами материала, из которого он изготовлен. Это выражение в знаменателе (4.18) называют магнитным сопротивлением магнитопровода R_м:

(4.20)

Тогда выражение (4.18) для магнитного потока приобретет следующий вид:

(4.21)

Таким образом, в соответствии с (4.21), магнитный поток в магнитной цепи прямо пропорционален МДС источника магнитного поля и обратно пропорционален магнитному сопротивлению магнитопровода. Такое соотношение между магнитным потоком и МДС источника в магнитной цепи оказывается аналогичным известному соотношению между электрическим током и ЭДС источника в электрической цепи - закону Ома. В силу этой аналогии соотношение (4.21) называют закон Ома для магнитной цепи.

Использование такой аналогии позволяет применять для расчета и анализа магнитных цепей известные понятия и методы теории электрических цепей.

В частности, удобно использовать схему замещения магнитной цепи, в которой по аналогии с электрической цепью источник магнитного поля представлен идеальным источником МДС, а магнитопровод – его магнитным сопротивлением. Например, для магнитной цепи на рис. 4.15 магнитная схема замещения показана на рис. 4.16. В такой магнитной схеме замещения замыкается магнитный поток Ф.

Рис. 4.16. Магнитая схема замещения простой однородной магнитной цепи

Для сложной магнитной цепи может быть построена сложная схема замещения. Например, на рис. 4.17а показана разветвленная неоднородная магнитная цепь. Схема замещения этой цепи показана на рис. 4.17б. Здесь каждому участку неоднородного магнитопровода соответствует свое магнитное сопротивление, определяемое по аналогии с (4.20).

Рис. 4.17. Разветвленная неоднородная магнитная цепь и ее схема замещения

По аналогии с электрической цепью можно использовать понятие магнитное напряжение U_м, которое определяется произведением магнитного потока на магнитное сопротивление участка магнитопровода:

(4.22)

При анализе схемы замещения разветвленной магнитной цепи можно пользоваться соотношениями, аналогичными законам Кирхгофа:

(4.23)

(4.24)

4.4. Расчет и анализ магнитных цепей

При всем многообразии задач встречающихся при расчетах магнитных цепей их принято разделять на два типа.

1. Прямая задача – по заданному значению магнитного потока необходимо определить МДС и ток в электрической обмотке (Φ → Iw).

2. Обратная задача – зная МДС необходимо рассчитать магнитный поток (Iw → Φ).

При этом заданы параметры магнитопровода (геометрические размеры, свойства ферромагнитного материала) и число витков обмотки.

Расчет магнитной цепи может выполняться с использованием магнитной схемы замещения, либо непосредственным применением закона полного тока.