Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:

  1. 

  2. 

  3. 

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).

• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.

  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

• Для данного множества , функция называется псевдометрикой или полуметрикой на если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям:

  1. 

  2. (симметрия);

  3. (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве , где .

• Для данного множества , функция называется квазиметрикой если для любых точек из она удовлетворяет следующим условиям:

  2. (квази симметрия);

  3. (обобщённое неравенство треугольника).

• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех , и в .

• Иногда удобно рассматривать -метрики, то есть метрики со значениями . Для любой -метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

или

Также, для любой точки такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой . В частности, любое пространство с -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным .

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Метрика пространства-времени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика.

Схематическая двумерная иллюстрация искривления пространства-времени возле массивного тела

Метрика пространства-времени — 4-тензор, который определяет свойства пространства-времени в общей теории относительности.

Как правило, обозначается символом gij.

В инерциальной системе отсчёта матрица метрического тензора пространства-времени имеет вид

g^=⎛⎝⎜⎜10000−10000−10000−1⎞⎠⎟⎟.

В неинерциальных системах отсчёта вид метрики пространства-времени изменяется и в общем зависит от точки пространства и момента времени.

Метрика пространства-времени задаёт искривление пространства, которое ощущает наблюдатель, который движется с ускорением. Так как, исходя из принципа эквивалентности, наблюдатель никаким образом не может отличить неинерционность связанной с ним системы отсчёта от гравитационного поля, метрика пространства-времени определяет также искривление пространства в поле массивных тел.

Пространственно-временной интервал выражается через метрику пространства-времени формулой

ds2=gijdxidxj.

Так как метрика задаёт превращения координат, то её называют также метрическим тензором.

Метрика пространства-времени используется для установления связи между ковариантными и контравариантными записями любого 4-вектора

Ai=gijAj.