Примеры

• Дискретная метрика: , если , и во всех остальных случаях.

• Вещественные числа с функцией расстояния и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Расстояние городских кварталов - ,

где , - векторы.

• Пусть  — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства в метрическое пространство . Расстояние между двумя отображениями и из этого пространства определяется как

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве .

В частном случае, когда  — компактное пространство,  — числовая прямая, получается пространство всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть , ,  — пространства функций на отрезке , соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций метрика вводится по формуле:

где  — метрика равномерной сходимости на (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

.

• Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;

• в случае если размерность равна двум то плоскостью Минковского.

• Любое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому рёбру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.

• Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика — пример, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.

• Множество компактных подмножеств любого метрического пространства можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.