Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 19 августа 2014; проверки требуют 2 правки.

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Содержание

• 1 Определения

  • 1.1 Замечания

• 2 Обозначения

• 3 Связанные определения

• 4 Примеры

• 5 Конструкции

• 6 Свойства

• 7 Вариации и обобщения

• 8 История

• 9 Примечания

• 10 См. также

• 11 Литература

Определения

Метрическое пространство есть пара , где — множество, а — числовая функция, которая определена на декартовом произведении , принимает значения в множестве вещественных чисел такая, что

1. (аксиома тождества).

2. (аксиома симметрии).

3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

• множество называется подлежащим множеством метрического пространства.

• элементы множества называются точками метрического пространства.

• функция называется метрикой.

Замечания

• Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

.

• Если неравенство треугольника представить в виде

для всех и ,

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

Обозначения

Обычно расстояние между точками и в метрическом пространстве обозначается или .

• В метрической геометрии принято обозначение или , если необходимо подчеркнуть что речь идет о . Реже употребляются обозначения и .

• В классической геометрии приняты обозначения или (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

• Биекция между различными метрическими пространствами и , сохраняющая расстояния, называется изометрией; **В этом случае пространства и называются изометричными.

• Если подмножество множества , то, рассматривая сужение метрики на множество , можно получить метрическое пространство , которое называется подпространством пространства .

• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика на называется внутренней, если любые две точки и в можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к .

• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

где есть точка в и — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.

• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.

• Расстояние от точки до подмножества в определяется по формуле:

Тогда , только если принадлежит замыканию .