Тема 3. Целочисленное программирование

Постановка задачи целочисленного программирования. Классификация прикладных задач целочисленного программирования, особенности целевой функции и ограничений. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори, метод ветвей и границ.

Тема 4. Многокритериальная оптимизация

Сравнение вариантов по обобщенному критерию. Достижимое множество, «идеальная точка», оптимальные решения по Парето, методы решения задач многокритериальной оптимизации

Тема 5. Сетевые методы в планировании и управлении

Сетевые модели. Сетевая модель, расчет основных параметров сетевого графика.

3. Практические занятия Практическое занятие 1 Тема: Модели и методы линейной оптимизации

План практического занятия:

1. Графический метод решения задач линейного программирования.

2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

3. Целочисленное программирование.

Практические задания

1. Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях – посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из двух новомодных продуктов Р и Q. Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но и не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше). На банке с продуктом Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 150 рублям, а 1 кг продукта Q – 250 рублям. Так как дама просто приятная в это время была весьма стеснена в средствах, то ее интересовал ответ на следующий вопрос: «В какой пропорции нужно брать эти удивительные продукты Р и Q для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?»

2. C вокзала ежедневно можно отправлять скорые и курьерские поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов на станции указаны в таблице:

Тип вагонов	Багажные	Почтовые	Жесткие	Купейные	Мягкие	Вид поезда
Число вагонов в поезде	1	0	5	6	3	курьерский
	1	1	8	4	1	скорый
Вместимость вагонов	-	-	58	40	32
Наличный парк	12	8	81	70	27

Требуется выбрать такое соотношение между числом курьерских и скорых поездов, чтобы число пассажиров, которых можно отправлять ежедневно достигло максимума.

3. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1- го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.

Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Параметры задачи о производстве красок

Ингредиенты	Расход ингредиентов, т ингр/т краски		Запас, т ингр./сутки
	Краска 1 вид	Краска 2 вид
А	1	2	6
В	2	1	8

4. Для изготовления двух видов продукции используется три вида сырья. При производстве единицы продукции первого вида затрачивается 13 кг сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 3 кг третьего вида. При производстве единицы продукции второго вида затрачивается 2 кг сырья первого вида, 4 кг сырья второго вида и 14 кг третьего вида. Запасы сырья первого вида составляют 260 кг, второго – 124 кг, третьего – 280 кг. Прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет 12 руб., а прибыль от реализации единицы продукции второго вида составляет 10 руб. построить экономико-математическую модель задачи, максимизирующую прибыль от реализации продукции. Решить задачу геометрически и симплекс-методом. Построить двойственную задачу и найти ее решение на основе теорем двойственности. Провести экономический анализ полученных результатов.

5. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В - 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

6. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

Сырьё	Затраты сырья на единицу продукции			Запас сырья
	А1	А2	А3
I	3,5	7	4,2	1400
II	4	5	8	2000
Прибыль от ед. прод.	1	3	3

• Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?

• Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.

• Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.

• Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.

• Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.

7. Предприятие планирует выпускать 3 вида продукции Пj (i= 1, 2,3). При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, и Р3. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, и b3. Расход i-го ресурса (j= 1, 2, 3) на единицу продукции j-го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц.

b1=53,	b2=73,	b3=63,
a11=3,	a12=4,	a13=9,
a21=2,	a22=3,	A23=8,
a31=6,	a32=5,	a33=1,
C1=20,	C2=24,	C3=13,
k=3,	bk=2,	Ck=17.

Требуется:

1. Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;

2. Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;

3. Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи;

4. Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;

5. С помощью двойственных оценок y_j обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Z_max от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;

6. Оценить целесообразность приобретения bk единиц ресурса K по цене C_k.

Рекомендуемая литература:

Основная:

1. Красс, М. С. Математика для экономистов : учебник / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов – СПб. : Питер, 2004. – С. 259-285.

2. Краткий курс высшей математики: Учебник / Под общ. ред. д. э. н., проф. К. В. Балдина. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2010. С. 431-478.

3. Солодовников, А. С. Математика в экономике : учебник : в 2 частях / А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика, 2007. – Ч. 1. – C. 127-215.

Дополнительная:

1. Бережная, Е. В. Математические методы моделирования экономических систем: учеб. пособие / Е. В. Бережная, В. И. Бережной. – М. Финансы и статистика , 2001. – C. 188-253.

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах учебное издание : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. – М. : Оникс 21 век, 2005. Ч. 1. – C. 271-293.

3. Исследование операций в экономике : учеб. пособ. / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2000. – C. 44-123.

4. Конюховский, П. В. Математические методы исследований операций в экономике. Краткий курс / под ред. И. А. Конюховского. – СПб. : Питер, 2000. – C. 17-81.