Связь между процессами на входе и выходе четырехполюсника определяется интегралом Дюамеля:

U_y(t) = U_x(0) h(t) + . (1.8)

Здесь  - текущее время интегрирования от 0 до t .

Формула (1.8) показывает связь изменений напряжения выходе четырехполюсника в зависимости от воздействия на входе и предыстории системы, выраженной с помощью переходной характеристики.

Аналогичную связь между процессами на входе и выходе можно выразить с помощью импульсной характеристики уравнением, которое называется уравнением Винера-Хопфа:

U_y(t) = . (1.9)

Формула (1.9) показывает связь изменений напряжения на выходе четырехполюсника в зависимости от воздействия на входе и предыстории системы, выраженной с помощью импульсной характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика четырехполюсника – это последовательность отношений амплитуд гармонических напряжений на выходе устройства к напряжению на входе при разных частотах.

Из этого определения следует, что:

U_y()= K()U_х() , (1.10)

где U_х() и U_y() – амплитудно-частотные (спектральные) характеристики входной и выходной функции, а K() - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы.

Для более полного описания системы используют переход в частотную область с помощью преобразований Фурье в комплексном виде:

U_y() = W()U_х() , (1.11)

где W() = ()e ^{j ()} = , (1.12)

Функция () называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а функция () - фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

Соответственно, функции U_х() и U_y() в формуле (1.11) должны быть также представлены в комплексном виде, т.е. должны иметь амплитудно- и фазочастотные составляющие.

Передаточная характеристика – это амплитудно-частотная характеристика в операторном виде:

W(p) = , (1.13)

где p= + j - оператор Лапласа в комплексном виде,  -действительная (реальная) часть, j - мнимая часть.

Наличие комплексной составляющей указывает на то, что оператор Лапласа позволяет описать колебательный характер переходных процессов.

Связь между входом и выходом системы определяется формулой аналогичной (1.11):

U_y(p) = V(p)U_х(p) , (1.14)

где U_х(p) и U_y(p) – преобразования Лапласа входной и выходной функции.

Функции изменения напряжения на входе U_x(t) (оригиналу) соответствует преобразование Лапласа U_x(p) (изображение).

U_x (p)= . (1.15)

Преобразование Лапласа U_x(p) от функции U_x(t) имеет действительную (реальную) и мнимую часть. Действительная часть описывает ступенчатые изменения напряжений и токов и затухание в переходных процессах, а мнимая представляет колебательные (частотные) составляющие процессов.

Если в операторе Лапласа убрать реальную часть, то можно заметить, что преобразование Лапласа в формуле (1.15) превращается в преобразование Фурье. Это означает, что преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье.

Для ограниченного процесса (длительностью от 0 до T) имеем:

U_x(p)= . (1.16)

Зная изображение U(p) можно получить оригинал:

U_x(t) = , (1.17)

где с – постоянная.

Операторный метод удобен для описания электронных устройств и динамических процессов в электрических цепях.

Следует ещё раз отметить, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа. Аналогично, амплитудно-частотная характеристика является частным случаем передаточной характеристики или преобразованием Лапласа от импульсной характеристики. Таким образом, связь между процессами на входе и выходе четырехполюсника определяется формулами: (1.8), (1.9), (1.11) и (1.14).

Формулы (1.8) и (1.9) показывают связь между процессами на входе и выходе системы во временной области. Соответственно, формула (1.14) показывает связь между процессами на входе и выходе системы в операторной форме, а формула (1.11) – в частотной. Последняя формула применяется наиболее часто для исследования фильтров, усилителей, систем управления. Для её правильного применения необходимо помнить, что преобразование Фурье имеет две составляющие: амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики (АЧХ и ФЧХ).