Детерминированные системы без последствия с входными сигналами двух классов

Расширение понятие системы идет по трем путям:

• учет специфики воздействий;

• учет последствий;

• учет случайных факторов.

Учет специфики воздействий

Вводится понятие управляющих сигналов uU; u=M(t), или если сигнал uU описывается набором характеристик, то U = U₁  U₂  U_L .

Отличие от предыдущего случая в том, что множество моментов времени t_u и t_x могут не совпадать.

Вводится расширенное множество X^*=XU. Таким образом, состояние системы описывается вектором x^*=F (x, u) = f(x₁, x₂, .... , x_n, u₁, u₂, .... , u_L). С учетом этого предыдущие формулы приобретают вид оператора переходов:

z(t)= H{t,t₀,z(t₀), (t, x_L, u_M)_t}, или

z(t)= H{t,t₀,z(t₀), (t, x_L)_t }, что соответствует отображению

T T  {(t, x_L]_T}{(t, u_M]_T}  Z.

Детерминированные системы с последствием (обычно это системы с памятью)

Большой класс систем характеризуется тем, что для представления их состояния необходимо знать состояние системы на некотором множестве предшествующих моментов времени.

z(t)= H{t,(t_B0, z_)_t0, (t, x_L]_t0^t, (t, u_M]_t0^t },

{(t, t0)}  {(t_B0, z_)_t0}  Z  {(t, x_L]_T}  Z.

Где {(t_B0, z_)_t0} - семейство всевозможных состояний системы.

Описание динамических систем с последствием было успешно разработано для электрических систем специалистами в области кибернетики и теории управления Н. Винером, А. Хопфом и Н. Колмогоровым. Такой подход успешно применяется в радиотехнике, электронике и описании инерционных механических и других систем. Подробнее об этом мы остановимся в разделе 6.6.

Стохастические системы

Системы, функционирующие под воздействием случайных факторов, называются стохастическими. Для их описания вводится пространство элементарных событий    с вероятностной мерой P(A) и случайный оператор H₁, переводящий множество X в множество Z: z = H₁(x, ). Таким образом случайный оператор H₁, реализует отображение множества  в множество {XZ }.

Случайный оператор переходов будет представлен формулами:

z(t)= H₁{t,t₀,z(t₀, ₀), (t, x_L]_t0^t, `},

y(t) = G₁(t, z(t), `` ).

Где ₀, ’, ’’ - выбираются из  в соответствии с P₀(A), P_x(A), P_y(A).

При фиксированных ’, ’’ - система со случайными начальными состояниями.

При фиксированных ₀, ’’ - система со случайными переходами.

При фиксированных ₀, ’ - система со случайными выходами.

3.9. Динамические характеристики систем

Система как четырехполюсник

Для описания изменения напряжений и токов во времени (процессов) в электрических цепях и устройствах используют дифференциальные уравнения и различные аналитические функции. В этом случае говорят о динамическом описании процессов и устройств. При этом, в некоторых случаях, описание удобнее вести в спектральном виде или в операторной форме.

Наиболее распространенным описанием электрических систем и устройств является представление этих устройств в виде четырехполюсника или «черного ящика» с некоторыми динамическими характеристиками. Схематическое представление системы, при таком подходе, показано на рис. 1.9. Связь между напряжением на входе системы U_x(t) и на её выходе U_y(t) однозначно определяется следующими функциями (см. рис. 1.9):

h(t) - переходная характеристика (реакция системы на единичное ступенчатое воздействие), характеризующая переход в новое состояние;

k(t) - импульсная характеристика (реакция системы на единичное импульсное воздействие в виде функции Дирака - δ(t));

К()- амплитудно-частотная характеристика;

W(p) – передаточная характеристика.

Переходная характеристика h(t) – это реакция системы на единичное ступенчатое воздействие в виде функции: U_х(t)=I(t)=u(t)=0 при t<t_o , u(t)=1 при t>t_o.

Импульсная характеристика k (t) – это реакция на импульсное воздействие, т.е. на воздействие в виде единичного импульса U_х(t)=(t)=u(t)=0 при t<t_o и при t> t_o , u(t)=1 при t= t_o.

Рис. 1.9. Схематическое изображение динамической системы в виде четырехполюсника

Обычно достаточно одной из перечисленных функций, чтобы описать связь между выходной функцией и воздействием на входе с учетом предыстории системы, т.е. воздействий в предшествующие моменты времени. Однако при описании различных систем и процессов удобнее разные формы.

Рассмотрение ступенчатого и импульсного воздействий показывает, что импульсная функция (t) является производной от ступенчатой функции I(t). Это позволяет заключить, что импульсная характеристика k(t) является производной от переходной функции h(t), т.е.

 (t)=dI(t)/d(t) и k(t)= dh(t)/d(t). (1.7)