4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Пусть события H таковы, что Ø , и .

И пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий H (гипотез). Тогда имеет место следующее утверждение:

.

Эта формула получила название формулы полной вероятности.

Если известно, что событие А произошло и нужно произвести количественную переоценку вероятностей гипотез H , то пользуются формулами Байеса:

, .

Пример. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1: 4: 5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98 % , 88 % и 92 % случаев.

1) Найдите вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение. Пусть событие H = { телевизор поступил в торговую фирму от i – ого поставщика } ( i = 1, 2, 3 ). Событие А = { телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока}.

1) По условию

По формуле полной вероятности

2) Событие = { телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока }

По формулам Байеса

;

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы увеличилась с до максимальной , а вероятность гипотезы уменьшилась с 0, 5 до 0, 4.

Если ранее (до наступления события ) наиболее вероятной была гипотеза , то теперь в свете новой информации ( наступления события ) наиболее вероятна гипотеза – поступление телевизора от второго поставщика.

Упражнения.

1. В одной урне 3 белых и 7 черных шаров, в другой 4 белых и 6 черных. Из каждой урны наудачу извлекают по шару. Какова вероятность того, что шары будут разного цвета?

2. Вероятность банкротства одной фирмы 0, 4 , а второй на 25 % меньше. Какова вероятность того, что обанкротится хотя бы одна фирма?

3. Для некоторого спортсмена вероятность выиграть в первом туре равна 0, 6. После выигрыша в первом туре он выходит на другой тур. Вероятность выигрыша в обоих турах 0, 27. Какова вероятность выигрыша во втором туре?

4. Студент подготовил 20 из 25 вопросов, предлагаемых на экзамене. Какова вероятность того, что из 3 вопросов билета студент знает ответ: 1) только на один; 2) только на два; 3) на все три; 4) хотя бы на один; 5) хотя бы на два?

5. Три экспериментатора независимо друг от друга производят некоторые измерения. Вероятность того, что первый допустил ошибку равна 0, 1 , второй – 0, 15 , третий – 0, 2. Какова вероятность того, что хотя бы один из них допустил ошибку?

6. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0, 7 , а для второго – 0, 8. Оба они, начиная с первого, поочередно стреляют, но делают не более, чем по два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найдите вероятность того, что в мишени ровно две пробоины.

7. Вероятность того, что стиральная машина марки А не выйдет из строя за период гарантийного срока равна 0, 95 , а марки В – 0, 85. Найдите вероятность того, что наудачу выбранная машина одна из четырех марки А и одна из шести марки В не выйдет из строя в течение гарантийного срока.

8. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0, 85; 0, 8; 0, 7. Найдите вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.

9. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.

10. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0, 973. Найдите вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

11. Вероятности появления каждого из трех независимых событий соответственно равна Найдите вероятность появления только одного из этих событий.

12. Слово “ЛОТОС”, составленное из букв – кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые перемешаны в коробке. Из коробки наугад извлекаются одна за другой три буквы. Найдите вероятность того, что при этом появится слово “СТО”.

13. На складе есть три партии деталей. В первой 25 % бракованных изделий, во второй и третьей их нет. Из наудачу выбранной партии наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

14. На двух машинах производят одинаковые детали, которые идут на общий конвейер. Вероятность того, что первая машина производит качественную деталь 0,9, а вторая – 0,8. Производительность первой машины вдвое больше, чем второй. Наудачу взятая деталь оказалась качественной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена первой машиной?

15. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара наудачу вынули два шара и переложили в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Из второй урны наудачу вынимают шар. Чему равна вероятность того, что он белый?

16. На предприятии изготавливают изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20 % изделий, на второй – 30 %, на третьей – 50 % общего объема. Каждая из линий дает соответственно 95 % , 98 % и 97 % годных изделий. Определите вероятности событий:

а) наугад взятое изделие оказалось бракованным;

б) бракованное изделие изготовлено на второй поточной линии.

17. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска:

1 класс — малый риск, 2 класс — средний риск, а 3 класс — большой риск. Среди клиентов 50 % первого класса риска, 30 % — второго и 20 % — третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0, 01 , второго — 0, 03 , третьего — 0, 08. Какова вероятность того: а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования; б) получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?

18. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5: 8: 7.

Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 % , второй фирмы — 85 % , а третьей фирмы — 75 %. Найдите вероятность того, что:

а) приобретенное изделие окажется нестандартным;

б) приобретенное изделие оказалось стандартным.

Какова вероятность того, что стандартное изделие изготовлено третьей фирмой?

19. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55 % изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0, 01 , а второй — 0, 02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найдите вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.

20. Из двух колод по 36 карт и одной в 52 карты наудачу выбрана колода, а из колоды наудачу взята карта. Какова вероятность того, что извлечен туз?

Лабораторная работа №3

Повторные независимые испытания