2. Геометрическая вероятность.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Предполагаем, что все точки G “равноправны” в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А = попадание брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g определим
P(A)
=
,
где S
и
S
–
площади областей g
и G.
Фигуру g называют благоприятствующей событию А. Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности может быть одномерной, двумерной, трехмерной и так далее.
Определение. Геометрической вероятностью события А назовем отношение меры области, благоприятствующей появлению события А к мере всей области, то есть
Пример 1. Два лица – А и В условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 часами и ждет в течение 30 минут. Если партнер к этому времени еще не пришел или уже успел покинуть условленное место, встреча не состоится. Найдите вероятность того, что встреча состоялась.
Решение. Обозначим момент прихода в определенное место лиц А и В соответственно x и y.
В прямоугольной системе координат XOY возьмем за начало отсчета 11 часов, а за единицу измерения 1 час. По условию 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1.
Событие С = { два лица А и В встретятся } произойдет, если разность между x и y не превзойдет 0, 5, то есть | x – y | ≤ 0, 5 или x – 0, 5 ≤ y ≤ x + 0, 5.
Р
ешение
последнего неравенства есть полоса,
которая на чертеже изображена в виде
заштрихованной части прямоугольника.
Y
1 K L
0,5
M
0 X
0,5 1
P(C)
=
=
=
.
(Площади равных
между собой незаштрихованных треугольников
равны по
.
Поэтому площадь заштрихованной части
S
=
,
а S
=
=
)
Пример 2. В круг радиуса R вписан квадрат. В круг наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?
Решение. Сторона
квадрата a через радиус R
выражается по формуле a = R
.
Поэтому S
=
=
,
а площадь круга S
=
.
L M
K
N
Поэтому вероятность события А = { попадание точки в квадрат}
P(A)
=
=
0, 637
Пример 3. На
отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа
x
и y.
Найти вероятность того, что эти числа
удовлетворяют неравенствам
.
Решение. По условию 0 x 2, 0 y 2. Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной равной 2.
Перепишем заданное двойное неравенство в виде
;
Построим соответствующую область. На чертеже она заштрихована.
Y y = x
2 1
O 1 X
Площадь этой области
S
=
dx
=
=
.
Площадь квадрата S
= 4.
Поэтому искомая
вероятность
.