4. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

Решение. а) Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом фильмов, так и их порядком по номинациям ( либо и тем, и другим), причем одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз, то есть представляет размещение с повторениями. Их число равно

= = 100000.

б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования фильмов в комбинации 5 призеров значения не имеет, и число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое формулой: = = = 2002.

Если в перестановках из n элементов есть k различных, причем 1 – ый элемент повторяется раз, второй – раз, …, к – ый – раз, так что … = , то число таких перестановок равно

= .

Пример. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5, 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 по 2 раза?

Решение.

Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, причем = 3, = 2, а = 7, то есть является перестановкой из 7 элементов с повторениями. Их число

= = 210.

Упражнения.

1. В хоккейном клубе 10 форвардов, 8 защитников, 3 вратаря. Сколько различных вариантов команды может предложить тренер, если на поле выходят один вратарь, два защитника и три форварда?

2. Сколькими способами можно разместить n разных предметов по k разным мешкам?

3. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу при условии, что спуск и подъем происходит по разным дорогам.

4. Сколькими способами могут выпасть три игральные кости?

Во скольких случаях хотя бы на одной кости выпадет 6 очков?

5. Из колоды в 52 карты выбрали 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт есть хотя бы один туз? Во скольких случаях будет ровно один туз? Во скольких случаях будет не менее двух тузов? Во скольких случаях будет ровно два туза?

6. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

7. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

8. Сколькими способами можно разделить колоду в 52 карты пополам так, чтобы в каждой части было по два туза?

9. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов? Решите эту задачу, если должности одинаковые?

10. Сколько различных шестизначных чисел можно записать из цифр 1, 1, 1, 2, 2, 2?

11. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: замок, колокол?

12. На пяти одинаковых карточках написаны буквы М, И, Н, С, К. Сколько различных “слов”, в каждое из которых входит три буквы можно составить, раскладывая наугад эти буквы в ряд?

13. Сколько различных трехзначных чисел можно записать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе должны располагаться в порядке убывания? Решите эту задачу, если цифры могут повторяться и расположение их не существенно?

14. Среди 25 деталей только 15 точных. Сколько существует способов, взяв 10 деталей, получить комплект с 8 точными?