6. Событие а заключается в том, что число, взятое наугад из отрезка [ -10, 10 ], не больше 4, а событие в – модуль этого числа не превосходит 2. Что означают события:

, , \ , , , ?

2. Элементы комбинаторики в теории вероятностей.

Рассмотрим некоторые вопросы комбинаторики, которые играют важную роль при вычислении вероятностей различных событий.

Основной принцип комбинаторики (правило умножения): Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n способами, второе n – способами, третье – n способами, …, k – ое действие – n способами, то все k действий вместе могут быть выполнены … способами. В частности, если = = = … = , то k действий выполняется способами. Последний результат можно толковать так: каждый раз выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Такой способ выбора носит название выборки с возвращением.

Размещением из n элементов по m называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.

Число всех возможных размещений определяется формулой

= =

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Для определения числа различных перестановок из n элементов (обозначается P ) пользуются формулой P = … =

Способ выбора, приводящий к перестановкам и размещениям, носит название выборки без возвращения.

Сочетанием из n элементов по m назовем любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.

Заметим, что сочетание от размещения отличается только тем, что входящие в него элементы неупорядочены. Но m элементов можно упорядочить m! cпособами. Значит, каждое сочетание соответствует m! размещениям. Поэтому число сочетаний из n элементов по m

= =

Решение задач.

1. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 предметов.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем, и другим), то есть является размещением из 11 элементов по 5. Следовательно, число вариантов расписания равно

2. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар, то есть представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. Число таких сочетаний равно

= = 120.

3. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки от остальных отличается только порядком участников конкурса, то есть является перестановкой из 7 элементов. Следовательно, число вариантов жеребьевки

= = 5040.

Если в размещениях (сочетаниях) из n элементов по m некоторые из элементов (или все) окажутся одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями.

Число размещений из n элементов по m с повторениями = .

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m равно = .