2. Система случайных величин (X,y) подчинена закону распределения с плотностью

f(x,y) =

Область D определена неравенствами

; .

а) Определите a;

б) найдите M , M , , ;

в) определите коэффициент корреляции r

Решение

а) Используя свойство 2 плотности распределения, находим а.

a

a = 2a.

2a = 1; a = .

б) M =

= -

Аналогично M =

= MX - (MX) =

=

в) Ковариация K = M(XY) -- M M .

K =

-

Коэффициент корреляции

r = = .

3. Плотность распределения системы двух случайных величин X и y задана выражением

f(x,y) = .

Найдите a. Определите функцию распределения F(x,y) и вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник с вершинами

О(0,0); А(0,1); В( ,1); С( ,0).

Решение.

Для нахождения a используем свойство 2 плотности распределения

, отсюда .

Функция распределения

F(x,y) =

P((X,Y) D) =

Упражнения

1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,y) задан таблицей

Y X	─ 1	0	1	2
1	0,10	0,25	0,30	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Найдите: а) законы распределения одномерных случайных величин; б) P(Y<X); в) определите ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

2. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна p. Случайная величина X – число выстрелов до первого попадания (включительно). Y – число промахов.

а) Опишите закон распределения случайного вектора (X,Y) и законы распределения каждой компоненты;

б) вычислите коэффициент корреляции;

в) выясните, зависимы ли X и Y.

3. Число X выбирается случайным образом из множества целых чисел (1, 2, 3). Затем из того же множества выбирается наудачу число Y, больше первого или равное ему.

а) Опишите закон распределения случайного вектора (X,Y);

б) определите, зависимы ли случайные компоненты X и Y;

в) вычислите M , M , D , D , K , r .

4. Игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна 7 (то есть 1 – 6, 2 – 5, 3 – 4). Случайная величина X – число очков, выпавших на верхней грани,

Y – на нижней. X и Y могут принимать любые целые значения от 1 до 6 с вероятностью p = Найдите коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

5. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два одиночных (независимых) выстрела каждый по своей мишени. Случайная величина X – число попаданий первого стрелка,

Y – число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка p = 0,7, а для второго p = 0,4. Постройте закон распределения случайного вектора (X,Y) и законы распределения отдельных случайных величин X и Y. Постройте закон распределения случайных величин U = X + Y и V = X – Y.

6. Система дискретных случайных величин (X,Y) задана таблицей

X Y	0	2	5
1	0,1	0	0,2
2	0	0,3	0
4	0,1	0,3	0

(X,Y):

Вычислите M , M , D , D , K , r .

7. Плотность распределения вероятности случайного вектора (X,Y) имеет вид

f(x,y) =

1. Определите константу с;

б) установите, зависимы ли компоненты X и Y.

8. Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

f(x,y) =

Найдите коэффициент a.

9. Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью

f(x,y) =

D – квадрат, ограниченный линиями x = 0, x = 3, y = 0, y = 3.

а) Определите коэффициент a;

б) вычислите вероятность попадания случайной точки (X,Y) в квадрат Q, ограниченный линиями x = 1, x = 2, y = 1, y = 2;

в) найдите M , M , , .

10. Задана функция распределения случайного вектора (X,Y)

F(x,y) =

Найдите вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x =1, x = 2, y = 3, y = 5. Вычислите плотность распределения.

11. Задана функция распределения случайного вектора (X,Y)

F(x,y) =

Вычислите плотность распределения.

12. Задана плотность распределения случайного вектора (X,Y)

f(x,y) =

Определите функцию распределения.

13. Задана плотность распределения случайного вектора (X,Y)

f(x,y) =

Докажите, что X и Y независимы.

14. Задана плотность распределения случайного вектора (X,Y)

f(x,y) =

Вычислите математическое ожидание и дисперсию X и Y.

15. Двумерная случайная величина (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью f(x,y) = axy в области D. Область D – треугольник, ограниченный прямыми x+y-1 = 0, x = 0, y = 0. Найдите: а) величину a; б) M и M ; в) и ; г) K и r .

16. Покажите, что для случая зависимых случайных величин X и Y

D(X+Y) = DX+DY+2r

17. Случайная величина Z = X+Y.

M = 1; M = 2; D = 0,001; D = 4; r = 0,2.

Найдите M и D .

18. Дан случайный вектор (X,Y).

M = 0; M = 2; D = 2; D = 1; r =

Найдите математическое ожидание и дисперсию Z = 2X – 3Y.

V. Закон больших чисел.

Закон больших чисел утверждает, что среднее арифметическое большого числа независимых случайных величин ведет себя как среднее арифметическое их математических ожиданий.

1. Сходимость по вероятности.

Последовательность случайных величин X , X , …, X , … сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого

Обозначается

2. Неравенства Чебышева и Маркова.

Если случайная величина X имеет математическое ожидание MX и дисперсию DX, то для любого .

Для положительных случайных величин X с математическим ожиданием MX .

3. Теорема Чебышева.

Для независимых случайных величин X , X , …, X , … с математическими ожиданиями MX = a и ограниченными в совокупности дисперсиями DX = среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть

.

Следствия.

1. Если все члены последовательности независимых случайных величин X , X , …, X , … имеют одинаковые математические ожидания MX = a и одинаковые дисперсии DX = , то

.

2. Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности к вероятности события, то есть