2. Функция распределения f(X) есть неубывающая функция на всей числовой прямой.

3. lim , lim

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна приращению ее функции распределения, то есть

Пример. Функция распределения

Найти

Решение. P(1 ≤ X < 3) =

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) f(x) непрерывной случайной величины называют производную ее функции распределения, то есть

График плотности вероятности называют кривой распределения.

Свойства плотности.

Вероятность попадания случайной величины в интервал равна

Функция распределения выражается через плотность

Геометрическая интерпретация свойств 2 и 3.

f(x) f(x)

0 x 0 x x

П ервое свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси x, а свойство 4 – полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью 0x равна 1.

Для непрерывной случайной величины числовые характеристики имеют вид:

(если интегралы сходятся).

Пример. Функция f(x) задана в виде:

Найдите: a) значение постоянной А, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины X;

б) выражение функции распределения F(x);

в) вычислите вероятность того, что случайная величина X примет значения на отрезке ;

г) найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение.

а) Чтобы f(x) была плотностью вероятности некоторой случайной величины X, она должна быть неотрицательной и

Следовательно,

Имеем тогда

б) Если то

Если X > 1, то

Получаем, что

в)

г)

Некоторые законы распределения.

1. Биноминальный закон распределения.

Дискретная случайная величина X принимает значения с вероятностями, которые подсчитываются по формуле Бернулли , где n – общее число испытаний; p – вероятность успеха в каждом испытании; q – вероятность наступления неудачи. Так что Тогда имеем

2. Закон распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 1, 2, 3, … с вероятностями Тогда

3. Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, 3, … с вероятностями Тогда

4. Гипергеометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, … с вероятностями

где

Тогда

5. Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке если ее плотность вероятности

Тогда

6. Показательный закон распределения (экспоненциальный).

Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром если ее плотность

Тогда

7. Нормальный закон распределения.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами если ее плотность вероятности имеет вид

Тогда

Пример 1. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Записать закон распределения случайной величины X – число выпадений гербов на обеих монетах.

Решение. В данном опыте пространство элементарных исходов Ω = {(ГГ), (РР), (ГР), (РГ)}. Герб может выпасть 1 раз, 2 раза и ни разу.

Закон распределения случайной величины X :

X :

Пример 2. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна Составьте закон распределения числа вызовов, если: а) число вызовов не более 5; б) число вызовов не ограничено.

Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. а) Случайная величина X – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Пусть — – ый вызов принят . Вероятность того, что первый вызов принят Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не будет принят, и

Аналогично,

Пятый вызов при любом исходе – последний.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

Математическое ожидание

Дисперсия

б) Так как число вызовов не ограничено, то ряд распределения случайной величины X имеет вид:

X:					…		…
					…		…

Проверка:

(Сумма ряда в скобках – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, В нашем случае

Для вычисления суммы ряда воспользуемся формулой

В нашем случае

Для вычисления суммы, записанной в скобках, сначала рассмотрим сумму ряда при

При

Пример 3. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из значений равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2 и ее дисперсия равна 0,16.

Решение. Пусть значения случайной величины X равны и По условию одна из вероятностей равна 0,8. Пусть Тогда Запишем ряд распределения

Известно, что

Значит, что

Решая систему, находим два решения: и

Поэтому

или

Пример 4. Дана функция распределения случайной величины X:

а) Найти плотность вероятности

б) Построить графики и

в) Найти вероятности и

г) Вычислить и

Решение. а) Плотность вероятности

б) f(x) F(x)

1 1

0 x 0 x

в)

г)