1. Формула Бернулли.

Пусть производится n независимых испытаний при определенном комплексе условий. В каждом испытании возможно два исхода. Назовем их событиями и . .

И пусть от испытания к испытанию вероятность не изменяется. Описанная последовательность независимых испытаний получила название схемы Бернулли.

Для таких испытаний имеет место формула Бернулли, которая позволяет подсчитывать вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит m раз.

(1)

Пример 1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдите вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди пяти отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали p = 1 – 0,8 = 0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли.

Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон распределения вероятностей.

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4 5 m

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей видим, что есть такие значения m ( в данном случае одно — = 1 ) , которые обладают наибольшей вероятностью . Это число называют наивероятнейшим. Находят его из двойного неравенства

(2)

При этом, если — целое, то наивероятнейших чисел два: и . А если — дробное, то — одно, равное .

Пример 2. По данным примера 1 найдем наивероятнейшее число появлений бракованных деталей из пяти отобранных и вероятность этого числа.

Решение. По формуле (2): . Отсюда . Тогда , а его вероятность

Пример 3. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

Решение. В данном случае .

.

То есть необходимо подбросить кость от 59 до 65 раз включительно.

2. Приближенные формулы для вычисления Pn(m).

Если p — мало, n — велико, а , то имеет место приближенная формула Пуассона

(3). В таблице ( I ) приложений приведены значения функции Пуассона.

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна Так как — мало, — велико, а < 10, то применима формула Пуассона. (по таблице!)

Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность при достаточно большом n приближенно равна

(4) , где e , x = .

Чем больше n, тем точнее эта приближенная формула, называемая локальной формулой Муавра – Лапласа.

Уже при получаем, пользуясь этой формулой, незначительную погрешность.

Функция φ (x) — четная, то есть , она монотонно убывает при положительных значениях x, причем при x → ∞, φ (x) → 0. (Практически можно считать, что уже при x > 4 φ (x) = 0).

Значения φ (x) приведены в таблице ( I I )

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найдите вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник Так как n = 400 достаточно велико > 20

x = ;

Весьма малая вероятность результата связана с тем, что кроме события “ровно 300 семей из 400 имеют холодильники” возможно еще 400 событий: “0 из 400”, “1 из 400”, …, “400 из 400” со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит сумма их вероятностей равна 1.

Пусть условие примера дополнено вопросом: выяснить, какова вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники.

Используя теорему сложения вероятностей, имеем:

Каждое из слагаемых можно подсчитать по локальной теореме Муавра – Лапласа. Но большое количество слагаемых делает подсчет весьма громоздким. В таких случаях используют следующее утверждение, которое вошло в историю как интегральная формула Муавра – Лапласа:

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

(5) , где ― функция (или интеграл вероятностей) Лапласа,

Чем больше n, тем точнее эта формула. Уже при npq ≥ 20 эта формула дает незначительную погрешность вычисления вероятностей.

Функция – табулирована ( таблица ΙΙΙ ). При использовании этой таблицы нужно знать, что: