Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный университет

Т.Е.Пясецкая, Т.А. Васильев

Теория вероятностей

Лабораторные работы

(Для студентов специальностей 6.040203, 6.050101, 6.051001, 6.170101)

Донецк, ДонНУ

2014 г.

Пясецкая Татьяна Евгеньевна

Васильев Тарас Анатольевич

Теория вероятностей. Лабораторные работы.

Лабораторные работы №1-4 охватывают такие разделы теории вероятностей: «События и вероятность», «Повторные независимые испытания», «Случайные величины и их числовые характеристики».

Каждая лабораторная работа состоит из двух частей. В первой части приводятся основные определения и формулировки теорем, а также достаточное количество решенных задач по данной теме. Усвоив данный материал, студент может переходить к самостоятельному выполнению предлагаемых заданий.

Утверждено к печати Ученым Советом физико-технического факультета Донецкого Национального Университета.

I События и вероятности

1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных исходов. События, действия над ними.

Рассмотрим простейший вариант случайного испытания – подбрасывание монеты. Результат такого эксперимента: выпадение “герба” и выпадение “цифры”. Эти два исхода в рамках данного эксперимента уже нельзя разбить на более мелкие составляющие, т. е. они являются в некотором роде “элементарными”. При бросании игральной кости такими неделимыми исходами являются выпадение одного очка, двух очков, …, выпадение шести очков. Следовательно, имеем шесть элементарных исходов. Теперь более сложный пример: падение идеальной (не имеющей размера) частицы на плоскость. Результат испытания – попадание частицы в определенную точку плоскости, что отождествимо с двумерным вектором в некоторой системе координат на плоскости. И вообще, результат любого испытания со случайным исходом представляет собой один из множества допустимых исходов.

В дальнейшем все возможные в данном опыте исходы будем рассматривать как некоторое множество Ω, которое носит название пространство элементарных исходов или пространство элементарных событий. Сами элементарные исходы будем обозначать строчной буквой ω, при необходимости снабжая ее индексами.

Так, для первого примера Ω = { ω , ω }, где ω – выпадение на сторону “герб”, ω – выпадение на сторону “цифра”.

Понятие “событие” определяется так же, как исход испытания, но не обязательно неделимый. Примеры событий: выпадение четного числа очков при однократном подбрасывании игральной кости; выпадение не менее трех очков. То есть на событие можно смотреть как на набор элементарных событий или как на подмножество множества элементарных исходов Ω.

События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабженными при необходимости индексами: А, В, С , Н и так далее.

Над событиями договоримся производить ряд теоретико – множественных операций. Эти операции удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна. А именно, будем изображать все пространство элементарных исходов прямоугольником. Тогда каждый элементарный исход ω соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А отождествляется с некоторой областью.

Само пространство элементарных исходов Ω представляет собой событие, происходящее всегда и носит название достоверного события. Для дальнейшего нам удобно ввести невозможное событие (обозначим Ø), которое никогда не происходит в результате данного эксперимента, то есть не содержит ни одного элементарного события.

Пример 1. При однократном бросании игральной кости событие “выпадение не менее одного очка” – достоверное (Ω), “выпадение более шести очков” – невозможное (Ø).

Пусть А Ω и В Ω. Если событие В осуществляется всегда, когда происходит А, то пишут

Геометрически

В этом случае говорят, что В есть следствие А. Ясно, что Ø А  Ω.

Если события А и В таковы, что А  В и В  А, то их называют равными и обозначают А = В.

Над событиями как подмножествами фиксированного множества можно производить ряд операций, которые мы опишем.

Пересечением (произведением) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события А и В. Обозначается С = А ∩ В.

Пример 2. Событие А = {выпадение четного числа очков при бросании игральной кости}; событие В = {выпадение не менее 3 очков}. С = А ∩ В = {выпадение 4 или 6 очков}.

События А и В называют несовместными (непересекающимися), если их пересечение – невозможное событие, то есть А ∩ В = 0.

П ример 3. Событие А = {выпало четное число очков при бросании игральной кости};

событие В = {выпало нечетное число очков}. События А и В – несовместны.

Ясно, что справедливы следующие простейшие соотношения:

А ∩ Ω = А; А ∩ Ø = Ø, где А Ω. Если А В, то А ∩ В = А.

Объединением (суммой) двух событий А и В назовем событие С, происходящее тогда и только тогда, когда когда наступает хотя бы одно из событий А или В. Обозначается

С = А В.

Пример 4. Событие А = {выпадение 1 или 3 очков при бросании игральной кости};

событие В = {выпадение 3 или 5 очков}.

С = А В – выпадение нечетного числа очков.

Справедливы для операции суммы следующие формулы:

Ω А = Ω; Ø А = A. Если А В, то А В = В.

Разностью двух событий А и В назовем событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит событие В. Обозначается С = А\ В.

Пример 5. Событие А ={выпадение хотя бы одного “герба” при подбрасывании двух монет}, то есть

А = { (ГГ), (ГЦ), (ЦГ) }. В = {выпадение обеих монет одной стороной}, то есть В = { (ГГ), (ЦЦ) }

А\ В = { (ГЦ), (ЦГ) } – выпадение ровно одного герба.

Для разности событий имеют место соотношения: А\ Ω = Ø; А\ Ø = A.

Если А  В, то А\ В = Ø.

Дополнением события А (обозначается ) называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, то есть

Понятно, что ; ; ; .

Пример 6. Событие А = {выпадение четного числа очков при бросании игральной кости}.

= {выпадение нечетного числа очков}.

Можно показать справедливость следующих формул (формулы де Моргана)

,

Решение задач.