5. Универсальный характер степенного метода

Предложенное решение в виде представления площади (произведения), состоящей из двух неоднородных частей, выходит за рамки собственно математики и обращается к сути самого явления: принцип конструктивизма и структурализма, – означает, – просто числа не существует, а есть взаимосвязанные и взаимообусловленные структуры. Анализ проблемы связан с логическим скачком – с переходом от количественного исчисления к качественному анализу явления и от математических выражений требуется не только строгое доказательство, но и возможность наглядного геометрического построения. Для решения усложняющейся задачи пришлось конструировать новую систему понятий и отношений:

- сделан переход от абсолютных значений к относительным приростным величинам;

- обозначены однородные и неоднородные члены произведения;

- осуществлён переход от первичных (линейных) размерностей к вторичным (производным) размерностям – площадям и объёмам.

Отсюда следует, что рассмотрение математических проблем не основывается на элементарных очевидностях, и связано со структурализмом, а именно с постижением структурной сути остаточного члена. Речь идёт о формуле логического исчисления: о замене произведения (аb), возникающего в результате анализа непосредственно из описания схемы, другим выражением, в виде суммы приведённых значений: (а^пр + b^пр), которое удовлетворяет определённым требованиям строгости и ясности, но в то же время остаётся эквивалентным первому по своей сути и значимости. Вопрос идет о представлении числа-произведения через сумму однородных слагаемых, удовлетворяющих критерию достоверности и соответствующих количеству сомножителей.

Переход к новой системе исчисления предполагает переход от линейной размерности к исчислению площадей и объёмов. Вывод очевиден: чем глубже идея, тем труднее её постигнуть. Реальность такова: имеет место выражение двух или нескольких сомножителей тем же числом однородных слагаемых.

Научный подход к анализу числа есть разложение целого на отдельные элементы и изучение этих элементов в отдельности. При разложении остаточных членов – их части выступают не как переменные и неизвестные величины, к которым не могут быть применены алгебраические действия, а как обычные полноценные числа. Предложенный алгоритм обеспечивает получение точного результата производной функции при переходе от сомножителей к сумме однородных слагаемых: при а = 3, b= 4;

аb= 12 = a² ab/(a² + b²) + b² ab/(a² + b²)= 4,32 + 7,68.

Представленное решение подтверждается конструированием нового объекта, на основе которого можно заключить, что фактически единого остаточного члена не существует, а есть две независимые друг от друга величины – доли, суммы которых и определяют величину остаточного члена. Площадь остаточного члена в качестве единицы размерности имеет два различных квадрата или площади, построенных на сторонах прямоугольника, между тем как стороны остаточного члена (прямоугольника) имеют линейную единицу размерности – длину.

Критерием достоверности предлагаемого метода выступает выполнение условия по представлению полного прироста (i_z) в виде суммы однородных факторов, как независимых величин, без остатка, т.е. без конструирования дополнительных условий и использования метода последовательных приближений. Присоединение приведенных долей остаточного члена к факторам и будет соответствовать их полным значениям.

Метод должен оставаться справедливым вне зависимости от:

- абсолютных значений анализируемых величин;

- количества задействованных факторов;

- одно- или разнонаправленного действия факторов.

Точность вычисления ограничивается возможностями измерительного аппарата, а полученные результаты будут применимыми, если обеспечат математическую убедительность. При определении долей остаточного члена выполнение этих требований обязательно. Результат деления остаточного члена отражает аналогичные изменения факторов и компонентов, а равенство факторов сопровождается равенством долей остаточного члена.

На основе алгоритма окажется возможным эффективно найти производную функцию при её существовании с любой степенью точности, то есть однозначно и обоснованно разложить остаточный член между вызвавшими его факторами и от мультипликативной формы перейти к аддитивной с тем же самым числом слагаемых. В правильности полученного алгоритма можно убедиться непосредственно на целом ряде примеров [12]. В качестве подтверждения работоспособности предложенного метода рассмотрим пример, данные которого произвольны.

Пример. Дано I_z = I_x I_y, где темпы роста разнонаправлены, а темпы прироста сравнимы с темпами роста: I_x = –1,0; I_y = 2,0; I_z = –2,0. Темпы прироста и остаточный член соответственно равны: i_z = – 3,0; i_x = –2,0; i_y = 1,0; i_xi_y = –2,0, то есть: –3,0 = –2,0 + 1,0 – 2,0. Геометрическая прогрессия имеет вид: 1; |2| ; 4. Используя формулы полных значений, находим их численные значения:

i^пол_x = – 2,0 – 2,0 ∙4/5 = – 3,6;

i^пол_y = 1,0 – 2,0∙1/5 = 0,6;

i_z = i^пол_x + i^пол_y = – 3,6 + 0,6 = –3,0.

Пример иллюстрирует, что при факторах, изменяющихся в противоположных направлениях, закон распределения остаточного члена подчинён общему правилу и как показал целый ряд конкретных примеров на основе использования алгоритма – результат неизменно получается с поразительной точностью. Математически точный метод – неуязвим для опровержения.

Имея методику разложения для двухфакторной функции несложно вывести алгоритмы для функций более высоких порядков, которые идут вослед предшествующим. Для трёхфактороной модели он имеет вид: Ал₃ = i_xi_yi_z/(i³_x+ i_y³+ i³_z) – отношение параллелепипеда к кубам соответствующих рёбер. В темпах роста трёхфакторная модель имеет вид: I_w =I_xI_yI_z. В темпах прироста имеем:

i_w = i_x + i_y + i_z+ i_xi_y +i_xi_z + i_yi_z + i_xi_yi_z (15), а с учетом зависимостей (13) и (14) получаем трёхчленную формулу: i_w = i^пол_x+ i^пол_y+ i^пол_z, где: i^пол_x, i^пол_y, i^пол_z – полные значения темпов прироста трёхфакторной модели, которые по аналогии с двухфакторной функцией находятся из выражений:

i_xi_y i_xi_z i_xi_yi_z

i^пол_x = i_x + i²_x + i²_x + i³_x (А);

i²_x + i²_y i²_x + i²_z i³_x + i³_y + i³_z

i_xi_y i_yi_z i_xi_yi_z

i ^пол_y = i_y + i²_y + i²_y + i³_y (Б);

i²_x + i²_y i²_y + i²_z i³_x + i³_y + i³_z

i_xi_z i_yi_z i_xi_yi_z

i^пол_z = i_z + i²_z + i²_z + i³_z (В) .

i²_x + i²_z i²_y + i²_z i³_x + i³_y + i³_z

По аналогии с определением алгоритма для 3-х факторной функции находим алгоритм для 4-х факторной функции: Ал₄ = i_xi_yi_zi_v/(i⁴_x+ i⁴_y+ i⁴_z+ i⁴_v), который выступает вослед предшествующему Ал₃ при сохранении однопорядковости. Она достигается в результате учёта соответствующих начальных значений компонентов (т.е. за счёт содержательной стороны явления), дополняющих и конкретно определяющих соответствующие слагаемые приведённых значений факторов, что обеспечивает сравнение и сопоставление анализируемых величин. Например, полное значение 3-х факторной функции по фактору х, с учётом начальных значений компонентов равных единице, примет вид:

i_xi_y i_xi_z i_xi_yi_z

i^пол_x = Iy₀∙∙Iz₀ i_x + Iz₀ i²_x + Iy₀ i²_x + i³_x .

i²_x + i²_y i²_x + i²_z i³_x + i³_y + i³_z

Каждая доля остаточного члена состоит из однородных и однопорядковых частей, что делает их сравнимыми и сопоставимыми. Это придаёт методу универсальный характер, а учёт коэффициента перед алгоритмом в показательной степени, соответствующий количеству сомножителей, даёт право назвать предложенное решение степенным методом.

Способность степенного метода раскладывать остаточный член не только для 2-х или 3-х факторной функции, но и для многих – подтверждает универсальный характер предложенного метода. Решение сводится к последовательному приведению n-мерной функции к двухчленному уравнению. Переход от n-мерной функции к n +1 мерной функции основан на использовании предшествующего алгоритма, учитывающего произошедшее изменение. Достоинство этого метода связано с тем, что он позволяет получить однозначно-точное решение по разложению полного прироста между факторами. Двухфакторная функция остаётся основной или начальной для последующих функций. Любое произведение из n сомножителей раскладывается на n однородных слагаемых единственным способом. Алгоритм для п-мерной функции имеет вид: Ал_п = i_xi_yi_z … i_п/(i^п_x+ i^п_y+ i^п_z + … + i^п_п). Налицо детерминированная последовательность, следующая из предшествующих алгоритмов.

Алгоритм позволит разложить приращение функции нескольких независимых переменных на равное числу сомножителей количество независимых слагаемых, то есть каждое из слагаемых однородно. Алгоритм соединил в себе строгое обоснование с простотой и наглядностью, он выведен на основе соблюдения критерия достоверности или критерия правильности. Тем самым открывается путь для разрешения 2-го кризиса основ математики, а каждое слагаемое обладает однородными признаками и каждое из них содержит только ему присущую величину влияния на результирующий показатель. Вопрос касается установления правил по определению долей независимых слагаемых, в соответствии с которыми формируется величина остаточного члена. Путь преодоления затруднений связан с оперированием абстрактными конструкциями, которые отвечают содержательной стороне явления.

Из рассмотренных примеров следует, что степенной метод позволяет разложить дополнительный прирост по факторам полностью без какого-либо остатка и предпочтения, с наперёд заданной степенью точности. Представленные выражения алгоритмов удовлетворяют требованиям математической логике вне зависимости от абсолютных значений величин, количества задействованных факторов и их одно- или разнонаправленности.

Произведение сомножителей i_xi_yi_z … i_п – представляет объект п-мерного пространства и его разделение на п однородных слагаемых подчинено законам элементарной математике, чем и достигается наиболее полное и достоверное информатизация в математическом анализе. Способ разложения произведения на однородные слагаемые далеко выходит за рамки метода по нахождению точного значения производной функции (по «обоснованию» дифференциального исчисления). Переход от предела к использованию алгоритма означает арифметизацию математического анализа и тем самым устраняется пропасть между элементарной и высшей математикой.

Степенной метод позволил осуществить органичное соединение непрерывного и дискретного, и тем самым установить непосредственную связь между элементарной и высшей математикой, что привело к разрешению второго методологического кризиса основ математики, исключив из обоснования различного рода предположения и допущения.

На основе представленного степенного метода можно математически внятно ответить на сакраментальный вопрос: «почему минус на минус всегда даёт плюс»?

Метод структурализма позволяет представить некое положительное тело, в котором компоненты в относительных величинах – темпах роста от своих базовых (начальных) значений I_x0, I_y0, I_z0 равных единице уменьшаются до: I_x, I_y, I_z. В этом случае после изъятия из общей площади отрицательных факторов-площадей: – i_x∙I_у0 и – i_y∙I_х0 остаётся положительное тело в виде остаточного члена (i_xi_y), площадь которого в своё время являлась естественным продолжением соответствующих факторов. Фактически никакого умножения отрицательных чисел нет, а остаётся положительная величина (i_x∙i_y), состоящая из соответствующих однородных частей. В данном случае положительное значение остаточного члена примет четкую графическую интерпретацию, что следует из зеркального отражения фигуры, представленной на рис. 2. Этим моментом объясняется неудача всех попыток ответить на вопрос: почему минус на минус означает плюс.