4. Алгоритм для разложения остаточного члена
На конкретном примере покажем, что существует возможность разложения остаточного члена (дополнительного прироста в виде произведения сомножителей – прямоугольника) между факторами с учетом выполнения критерия достоверности.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а и b, диагональ которого d равна Ö(a2 + b2), на этой диагонали строим квадрат, площадь которого равна: a2 + b2. Это означает, что площадь квадрата делится кривой линией L на две части, одна из которых равна a2, другая b2, то есть площадь квадрата складывается из двух независимых частей в отношении a2/b2. Перед нами деление площади квадрата на части, отношение которых представляют независимые факторы. Но квадрат является частным случаем прямоугольника, одна из сторон которого представляет сторону квадрата. Площадь такого прямоугольника делится в том же отношении, что и площадь квадрата со стороной Ö(a2 + b2), то есть в отношении a2/b2 . Но если разделение площади квадрата в отношении a2/b2 правильно и очевидно, то разделение площади прямоугольника в том же отношении – достоверно, но не очевидно. Разделение площади прямоугольника (как и квадрата) на основе элементарных правил геометрии между его составными частями в отношении a2/b2 возможно при условии, что линия L (см. рис. 2) проходит из одного угла прямоугольника к противоположному наикратчайшим путём, захватывая обе его стороны. Часть площади прямоугольника, соответствующая стороне a, равна: Sa = a2ab/(a2 + b2) (10); прилегающая к стороне b равна: Sb = b2ab/(a2 + b2) (11), сумма этих площадей определяет величину остаточного члена [15]. Доли площади остаточного члена определены точно и однозначно: одна часть пропорциональна только a2, – другая только b2. Отсюда деление прямоугольника в отношении a2/b2, что и квадрата, становится самоочевидной истиной.
При определении площади прямоугольника произведением аb происходит «смешивание» двух разнородных (независимых) факторов. Необходимо разделить произведение на две самостоятельные однородные части с помощью алгоритма. Отношение, в соответствии с которым делится площадь остаточного члена (ab), относительно суммы квадратов (a2 + b2), построенных на сторонах прямоугольника, принимаем за алгоритм (Ал). Для двухфакторной функции он равен: Ал = ab/(a2 + b2) (12) и получен в результате строго последовательных алгебраических действий от исходных данных к искомому результату. Представленная формула алгоритма в ОПВ имеет чёткую геометрическую интерпретацию (см. рис. 1), за которой стоит объективная реальность. Алгоритм выражает логический переход к базовым основам элементарной математике, отвечая всем требованиям и условиям математической строгости,
Учтём следующий момент: a и b – независимые первичные (начальные) величины, которые не сводятся к более простым величинам. Поэтому и переход к вторичным (последующим) величинам: от a к a2 и от b к b2 – выражает однородные члены одного семейства, следовательно, a2 и b2 так же независимые (вторичные) величины, поэтому и отношения: n = a/b и n2 = a2/b2 – являются независимыми относительными величинами. Заменив в выражении (12) a на nb алгоритм примет математически простой и выразительный вид: Ал = 1/(n + n-1), в котором a и b разнородны и не подлежат слиянию. При этом происходит избавление от произведения ab, как единого целого, выступавшего при обосновании дифференциального исчисления камнем преткновения. Представленный вывод алгоритма теоретически обоснован и логически безупречен, а простота его формулы – важный признак математической строгости и достоверности. Алгоритм – реальный процесс по нахождению точного значения производной функции и отвечает на вопрос как, а не что; при этом все действия соответствуют условию алгебраизации и тогда обращение к пределу становится излишним.
Как следует из формулы алгоритма (12), он характеризует удельный вес остаточного члена (площади прямоугольника) относительно суммы квадратов, построенных на его смежных сторонах. С математической стороны алгоритм имеет простой и удобный вид: его числитель – остаточный член (ab), – является среднегеометрической величиной по отношению к квадратам (a2 и b2), которые строго определяют его местоположение (a2 ≤ |ab| ≤ b2), представляя порядковое отношение связи между этими величинами, а именно геометрическую прогрессию со знаменателем b/a. Алгоритм не имеет размерности – это относительная величина в виде соприкасающихся площадей. Предложенное разделение остаточного члена есть единственно обоснованное решение, поскольку одна часть площади пропорциональна только a2, а другая – только b2 (выполнение необходимого условия). При этом остаточный член находится в границах величин, отвечающих за его разделение и чётко определяющих его местоположение (выполнение достаточного условия). Отсюда вытекает ряд следствий:
- любой прямоугольник есть среднегеометрическая величина относительно квадратов, построенных на его смежных сторонах;
- площадь каждой однородной части прямоугольника равна: Sa = a2 Ал, Sb = b2 Ал;
- отношение площадей прямоугольника, соответствующих его сторонам a и b, равно: a2/b2; аналогично, как и у квадрата.
При вещественных значениях a и b доли остаточного члена определяются с помощью алгоритма точно на основе правил элементарной математики. Отношение: a2/b2 – для площадей прямоугольников и отношение: a2/b2 – для площадей квадратов представляют собой безразмерные и постоянные коэффициенты, относящиеся ко всем без исключения прямоугольникам и квадратам.
В качестве иллюстрации выполнения необходимого признака рассмотрим ситуацию с двумя несмешивающимися жидкостями (см. рис. 2). Каждая из них растекается по соответствующей части площади прямоугольника CC1D1D (остаточного члена) и полностью заполняет её. Графическая интерпретация процесса представлена на рис. 2, в соответствии с которой содержание «остаточный член» приобрело естественный физический смысл.
Рис. 2. Образование независимых долей остаточного члена
На рис. 1 и 2 показано, что остаточный член образуется из двух независимых друг от друга частей (пропорциональных a2 и b2), аналогично независимым между собой сторонам (a и b). Кривая L, соединяющая точки C и D1, определяется методом вариационного исчисления, все данные для этого известны: CD = a; DD1 = b; SCLD1D = a2ab/(a2 + b2). Заметим, что подобных кривых существует бесконечное множество, но единственно верной является та, которая является наименьшей. В случае с жидкостями такое условие является необходимым для того, чтобы система оставалась статичной и определённой. Для разделения площади остаточного члена, отвечающего критерию достоверности, на независимые части – предложено единственное решение. Построена наглядная модель, позволившая проникнуть в суть происходящего явления. С помощью рис. 2 иллюстрируется непосредственное единство между элементарной и высшей математикой. Процесс алгоритмизации означает сведение сложного и неясного (аb) к примитивному и очевидному: аb = f(а) + f (b) = a2Ал + b2Ал.
Сконструирован объект, имеющий прозрачный геометрический смысл и строгую алгебраическую зависимость (a2 ≤ |ab| ≤ b2), что позволяет придти к новым математическим сущностям. Данный объект подчинен законам элементарной математики, что позволяет наглядно представить содержание самого явления – картину разложения остаточного члена между вызвавшими его факторами. Здесь имеет место совмещение геометрического изображения с алгебраической зависимостью. Полученный алгоритм представляет арифметизацию математического анализа: часть площади остаточного члена равна: CLD1D = a2 ab/(a2 + b2), другая часть его площади равна: CLD1С1 = b2 ab/(a2 + b2). Каждая из них является естественным продолжением площадей соответствующих факторов: ix∙Ix0 и iy∙Iy0, что наглядно иллюстрирует рис. 2. При этом Ix0 и Iy0,, согласно принятому для ОПВ условию, равны единице. Точные (полные) значения однородных факторов в темпах прироста составят: iлолx = ix + ix3 iy /( ix2 + iy2) (13), iполy = iy + ixiy3 /( ix2 + iy2) (14) при iz= iполx + iполy. В данном случае «число-произведение» ixiy выражено через сумму однородных слагаемых, соответствующих количеству сомножителей: ix2 Ал + iy2 Ал = f(x) + f(y). Представлена качественная характеристика подобных и неподобных частей остаточного члена.
На основе рис. 2 оказалось возможным постигнуть структурную суть остаточного члена (произведения аb) как последствия сложения разнородных факторов в виде двух слагаемых, каждое из которых при сложении «растворяется» в своих первоначальных факторах. Представленное решение алгебраически безупречно и геометрически наглядно: в основе всех математических действий лежит видоизменённое сложение, поэтому переход от произведения к сложению означает возврат объекта в исходно-первоначальное состояние. Непротиворечивость полученного алгоритма подтверждается геометрическим построением и безупречно строгим выводом математической формулы, простота которой – важный признак достоверности.
Формула алгоритма получена на основе ясного геометрического построения и простых алгебраических преобразований. Любое произведение можно обоснованно разложить на сумму однородных слагаемых без остатка при соблюдении критерия достоверности. Для этого необходимо представить любое число-произведение частью общей системы в ОПВ, которая включает компоненты (начальные и последующие), их разность в виде факторов и произведение этих факторов – остаточный член. Обоснованность решения подтверждается выполнением критерия достоверности: деление остаточного члена происходит в отношении независимых величин: a2 и b2, которые разнородны, а его величина ab, как среднегеометрическое значение в геометрической прогрессии, ограничена «слева» и «справа» квадратами a2 и b2. Область, ограниченная значениями a2 и b2, включает множество значений, но только одно из них соответствует величине остаточного члена. Принятое условие удовлетворяет важнейшему требованию к доказательству: оно обозримо и воспроизводимо.
Найденные доли остаточного члена позволяют заключить, что его площадь представляет не просто умножение (ab или bа), как принято считать, а образуется из двух разнородных долей, содержащих конкретную информацию о своём составе. Происходит не слияние двух независимых (разнородных) величин, а их присоединение друг к другу: сложение, как более простое и исходное действие, предшествующее умножению. Фактически части площадей остаточного члена являются естественным продолжением площадей своих однородных факторов (см. рис. 2). От описания модели решения перейдём к выяснению структурных закономерностей.