3. Геометрическое истолкование 2-х факторной функции в относительных величинах

Для разложения произведения на сумму однородных слагаемых представим ряд последовательных геометрических и алгебраических преобразований, что позволит сконструировать пригодный для дальнейшего анализа объект. Математическое выражение функции z = f(x,y) представим в общепринятых обозначениях.

Имеются два независимых компонента X и Y, произведение которых равно Z. Их начальные значения обозначим через: X₀, Y₀, Z₀; последующие как: X, Y, Z. Переход от начальных величин к последующим является минимально-дискретным и между ними не существует промежуточных значений, то есть предполагается их мгновенно-минимальное изменение, положение которых установлено и известно. Абсолютные приросты обозначим соответственно через: ∆x = X – X₀, ∆y = Y– Y₀, ∆z = Z – Z₀. Общий рост находим по формуле: Z₀ + ∆z = (X₀ + ∆x)∙(Y₀ + ∆y). После умножения и сокращения приходим к уже известной формуле (6): ∆z = ∆xY₀ + ∆yX₀ + ∆x∆y. С целью упрощения дальнейших выкладок выразим компоненты и факторы в относительных величинах – темпах роста: I_x, I_y, I_z и темпах прироста: i_x, i_y, i_z. Динамику любых исходных чисел можно представить в относительных приростных величинах (ОПВ), от этого они не теряют ни свою однородность, ни свою значимость, ни своих свойств и качеств. В данном случае имеет место перенесение исследования в иную область измерения – в ОПВ, которые обладают всеми необходимыми свойствами для проведения исследования. Это позволит наглядно представить не только приращение 1-го, но и последующих порядков малости. Переход к использованию ОПВ даёт возможность оперировать с приростами как с полноценными величинами, которые в данном случае выражают статику.

Начальные значения темпов роста I_x0, I_y0, I_z0 равны единице, а темпов прироста – нулю. Разделив выражение (6) на X₀Y₀ = Z_0, получаем: ∆z/Z₀ = ∆x/ X₀ + ∆y/Y₀ + ∆x∆y/X₀Y₀, каждая часть которого в темпах прироста равна: i_z = ∆z/Z₀; i_x = ∆x/X₀; i_y = ∆y/Y₀; i_xi_y = ∆x∆y/X₀Y₀. В относительных приростных величинах общий или полный прирост будет выражать простая формула: i_z= i_x+ i_y+ i_xi_y (8), аналогичная выражению (6), где: i_xi_y – остаточный или дополнительный член, – результат взаимодействия независимых факторов, который в теории статистики называется «неразложимым остатком». Требуется найти единственное решение разложения остаточного члена в виде суммы двух независимых слагаемых, отвечающих критерию достоверности.

Если из зависимости (8) выделить остаточный член в качестве самостоятельной и конкретной величины, то он может быть разделён на две разнородные части с последующим присоединением этих частей к определяющим их факторам. Речь идёт о представлении «числа-произведения» через сумму слагаемых, равных количеству сомножителей: i_z= i^пол_x + i^пол_у (9), где: i^пол_x и i^пол_у – полное значение однородных факторов, которые равны: i^пол_x = i_{x +} i^пр_x; i^пол_у = i_у + i^пр_y; где i^пр_x и i^пр_y – приведённые факторы равные остаточному члену i_xi_y [14] .

Для продолжения исследования необходимо распределить остаточный член (i_xi_y) между факторами i_x и i_y единственно-обоснованным способом и получить сумму из двух однородных значений: i_z= i_x + i^пр_x + i_у + i^пр_y = i^пол_x + i^пол _у.

С целью упрощения дальнейших выкладок применим для зависимости (8) удобную для последующих математических действий символику, приняв: i_z = c; i_x = a; i_y = b; i_xi_y = ab, тогда формула (8) примет упрощённый вид: c = а + b + ab (8а), где a и b – независимые величины, представляющие стороны прямоугольника CC₁D₁D – остаточного члена (см. рис. 1). Формула (8а) характеризует разрывную функцию и состоит из независимых друг от друга частей: а и b – первые члены прироста, ab – его последующая часть. Решение связано с переходом от первичной (линейной) размерности основных величин к вторичным размерностям, – размеру площади. Различные объекты становятся количественно сравнимыми лишь после того, как они сведены к единой мере измерения.

Данное преобразование позволит двух факторную функцию представить не как трудно-воспринимаемую объёмную поверхность в трех декартовых координатах, а в виде рисунка на плоскости (см. рис. 1), что значительно упростит понимание сути явления. В этом случае приростные величины представлены просто и ясно; требование наглядности выполняется и оно очевидно, поскольку соответствует остановившемуся мгновению перехода динамики в статику.

Y

X

Рис. 1. Геометрическое истолкование 2-х факторной функции в относительных величинах

На рис. 1 представлены площади:

- первоначальная площадь квадрата OACB равная S _OACB = Ix₀∙∙Iy₀ = 1∙1 = Iz₀;

- прирост первоначальной площади по оси X: S_BCDB1 = Iy₀ ∙ i_x = 1 ∙ i_x = i_x; (1-ый порядок малости);

- прирост первоначальной площади по оси Y: S_AA1C1C = Ix₀ ∙ i_y = 1 ∙ i_y = i_y;

(1-ый порядок малости);

- площадь остаточного члена: S_CC1D1D = i_xi_y; (2-ой порядок малости);

- прирост общей площади: S_AA1D1B1BC = i_z= i_x+ i_y+ i_xi_y .

Сложность разделения остаточного члена, между вызвавшими его факторами, обусловлена сопоставлением значений а и b, независимых друг от друга и представляющих первичные или основные величины (например, метры), со значением произведения ab, выражающего последующие или вторичные величины (например, метры в квадрате). В результате проблема разложения оказалась неопределенной и не получила решения, положительный подход связан с выяснением сущности явления.

Задача состоит в обосновании метода по точному и однозначному определению доли влияний каждого в отдельности однородного фактора на результирующий показатель (общий прирост – i_z). Для этого алгебраическим путём предполагается получить алгоритм, с помощью которого достигается однозначный результат вычисления приведённых долей остаточного члена: i^пр_x , i^пр_y и их участие в определении полных значений факторов: i^пол_x и i^пол_у. Под алгоритмом следует понимать отношение, представляющее совместное влияния основных (первичных) факторов на остаточный член (i_xi_y), что позволит осуществить учёт раздельного влияния каждого приведённого фактора на полный прирост.

В качестве необходимого признака по определению долей остаточного члена принимаем условие о независимости определяющих его частей, когда каждая доля включает только однородные составляющие. В качестве достаточного признака принимаем условие об ограничении величины остаточного члена конкретными границами, выход за которые недопустим, а его местоположение в этих граничных условиях строго определено. Соблюдение необходимого и достаточного условия принимаем за выполнения критерия достоверности по определению долей остаточного члена.