2. Основные требования к нахождению полного приращения многофакторной функции

Достижения учёных в части обоснования дифференциального исчисления к началу ХХI-го столетия достигли необходимой степени полноты для выхода на следующий уровень его познания. Налицо прогресс математических знаний по аналогии с достижениями в естественных науках о природе. Вклад учёных в разработку проблемы обоснования математики позволяет заключить, что созданы необходимые предпосылки для преодоления второго кризиса методологических основ математики. Определены общие требования к обоснованию математического анализа:

- проблема выражает задачу повышенной сложности, что требует конструирования новой системы понятий и обозначений;

- доказательство должно строиться из свойств самой функции и числовых множеств, которые она связывает;

- переход от элементарной математики к высшей должен иметь алгебраический характер и связан с отказом от символического исчисления.

Выполнение этих требований позволит осуществить естественный переход от элементарной к высшей математике и тем самым подтвердить непосредственную связь между ними. Объединить их в единое целое – значит свести обоснование к изучению системы объектов с простейшими, очевидными свойствами на основе содержательных абстракций. Само же обоснование и доказательство не основывается на элементарных очевидностях, а связано с созданием новых структур, что предполагает построение объекта, как части общей системы на основе конструктивной логики. Такой подход требует использовать систему абстракций через геометрические построения, подтверждаемые алгебраическими выражениями, что позволит раскрыть реальную картину имеющего место явления. Математики длительное время стремились связать основные положения элементарной и высшей математики с некими реальными (геометрическими) сущностями, но этого не произошло. «Невозможность решения проблемы обоснования математики и привело к тому, – считает С.К. Черепанов, – что эта проблема оказалась снятой с повестки дня» [7]. Математики практически приняли сложившуюся ситуацию и обсуждение вопроса перешло на междисциплинарный уровень. Значительная часть работ по истории, философии и логике математики констатируют актуальность и сложность проблемы, поскольку считается, что для её решения потребуется изменить базовую концепцию и методологическую парадигму [8].

Для преодоления второго кризиса методологических основ математики требуется представить решение, которое позволит исключить различного рода «допущения» в виде пренебрежения в приращениях членами высших порядков малости и тем самым отказаться от метафизических действий. Ставится задача, исходя из строгих математических предпосылок, избавиться от субъективно принятого допущения: приравнивать остаточные члены нулю; их следует принять в качестве равноправных частей полного приращения для точного определения производной функции. Вопрос касается сохранения остаточных членов как неотъемлемых частей полного приращения, что потребует внесение изменений в обозначение рассматриваемых функций. Речь идёт о конструировании наглядного объекта и выводе математического выражения в виде формулы (алгоритма) для точного вычисления величины производной функции, полученной от полного её приращения. Предполагается замена одного выражения (произведения) другим – суммой независимых слагаемых, удовлетворяющих определённым требованиям строгости – критерию достоверности, но в то же время, – эквивалентного первому математически. Необходимо от произведения (аb), которое содержит независимые величины, перейти к его сумме в виде слагаемых: f(а) + f(b), – каждое из которых однородно и независимо от другого. Такое решение должно быть обосновано как единственно-возможное состояние, то есть соответствовать определённому критерию достоверности. Предполагается измерить то, что явно измеримым не является. Переход от произведения к сумме независимых слагаемых есть более глубокое понимание сущности явления, – в основе предлагаемых операций лежит сложение частей, которые не раскладываются далее. Точное нахождение полного приращения функции позволит принять допущение о достаточной точности вычисленного результата, исходя из строго доказанной математической формулы. Речь идёт о методе по решению задачи, считавшейся ранее в принципе неразрешимой, и которая относится к одной из важнейших в математике. Введение новых средств позволит предложить теоретическое решение, которое можно использовать на практике и тем самым расширить границы практической математики.

Большинство предложений по нахождению полного приращения многофакторной функции оказались неубедительны и не вывели рассуждения за рамки хорошо известного [9]. Учёные неоднократно отмечали, что осуществить подобное преобразование невозможно [10]. Каждое из предложений воспринималось как «очередное бесперспективное упражнение» и утверждалось, что произведение разложить в сумму функций от сомножителей вида аb = f(а) + f(b) однозначно нельзя, поскольку задача имеет целый континуум решений [11]. Обоснованное разделение произведения на однородные слагаемые и отвечающее критерию достоверности, – должно быть только одно. Именно это обстоятельство оказалось камнем преткновения в вопросе обоснования второго кризиса основ математики.

Вопрос о необходимости обоснования дифференциального исчисления поставлен не точно. Речь идёт не об обосновании дифференциального исчисления, а о нахождении полного значения приращения многофакторной функции: а = f (x, y, z, … n) (5), без какого-либо отбрасывания или пренебрежения её членами, для последующего точного определения на этой основе производной функции. Предлагаемый метод связан с отказом от символического исчисления. Решение должно опираться на достоверные положения элементарной математики, а аналитическое выражение производной многофакторной функции, полученной на основе полного приращения, – точно отражать результат. Предел этой точности устанавливается произвольно, исходя из требований практики или возможности измерительного аппарата. Точно-однозначное определение производной функции двух или нескольких переменных предполагает использование не только всего значения полного приращения (∆а), но и отказа от каких-либо ограничений по величине самих приращений.

При анализе однофакторных функций действия по исключению остаточных членов представляются излишними, поскольку имеет место свободное суммирование однородных величин, находящихся в различных числовых областях, сумма которых образует единое или полноценное число. Проблема обоснования дифференциального исчисления возникает при рассмотрении полных приращений функции нескольких независимых переменных. Рассмотрим следующий пример.

Дана произвольная двухфакторная функция: z = f(x,y), её полное приращение имеет вид: ∆z = ∆xY₀ + ∆yX₀ + ∆x∆y (6). Для точного определения производной функции f ^/_р(x,y) необходимо произведение ∆x∆y разложить на однородные слагаемые с последующим их присоединением к соответствующим однородным факторам: ∆xY₀ и ∆yX₀. В результате получим формулу полного приращения в виде однородных слагаемых: ∆z = ∆xY₀ + f (∆x) + ∆yX₀ + f (∆y) (7), где ∆x∆y = f (∆x) + f (∆y), которые при сложении присоединяются к определяющим их факторам, образуя единое целое. Формула (7) означает преобразование полного приращения с учётом однородных частей остаточного члена, что позволит точно определить значение производной функции как по ∆x, так и по ∆y. Речь идёт об алгебраическом распределении остаточного члена между вызвавшими его факторами. В этом случае переход от высшей математики к элементарной будет иметь аналитический характер и связан с отказом от символического исчисления [12].

С точки зрения структурализма ∆z не может быть пустой формой безразличной к значению своего содержания. Аналогично и ∆xY₀, ∆yX₀, ∆x∆y являются не самостоятельными величинами, а следуют из ∆z и взаимосвязаны между собой. Это означает, что теоретически возможно распределить остаточный член между другими членами разложения. Математические рассуждения есть априорный синтез, образующий один за другим «сущностные отношения», в нашем случае это отношения между ∆z и его составом: ∆xY₀, ∆yX₀, ∆x∆y. В поиске ответов на возникающие вопросы, – считает Н. Мулуд, – создаются новые структурные объекты, для которых действуют и прежние законы [13].