Подход к разрешению второго кризиса основ математики,

или

О единстве высшей и элементарной математики а.В. Орлов

Содержание

1. Состояние проблемы по обоснованию дифференциального исчисления

2. Основные требования к нахождению полного приращения многофакторной функции

3. Геометрическое истолкование 2-х факторной функции в относительных величинах

4. Алгоритм для разложения остаточного члена

5. Универсальный характер степенного метода

6. Выводы

7. Список литературы

1. Состояние проблемы по обоснованию дифференциального исчисления

Возникновение математического анализа обязано дифференциальному и интегральному исчислению, появление которых и привело ко второму кризису методологических основ математики. Методы Ньютона и Лейбница основывались на привлечении к анализу неопределённых бесконечно малых величин (б.м.в.) различных порядков малости или на так называемой «e – d технике языка», означающей разницу между ∆y – полным приращением функции [f(х) – f(х₀)] и дифференциалом dy – приближённым её приращением без учёта в полном приращении после первого слагаемого последующих частей числа: ∆y – dy = d – остаточных членов [1]. Принято считать, что значения ∆y, dy, ∆х = dх – представляют первый порядок малости, а величины e и d – второй порядок малости, которыми обозначают неопределённые и «трудноопределяемые» значения, от которых при дифференциальном исчислении сразу избавляются. Именно отказ от приростов более высоких порядков малости обусловил неустранимость сомнений в достоверности дифференциального исчисления. Предложенный этими учёными метод практически сразу подвергся критике за неясность (скачёк) перехода от ∆y к dy. Принятый в математическом анализе метод игнорирует требование элементарной математики – это не строго-научный способ доказательства и обоснования, а некий метафизический приём. В данной работе речь пойдёт о нахождении точного значения производной функции без отбрасывания приращений более высокого порядка малости. Причина отбрасывания последующих приращений проста: неизвестно как их учитывать при n-мерной функции, которая включает совместное и одновременное действие нескольких независимых переменных. В этом случае применение дифференциального исчисления ставится под сомнение, – отбрасывание части от полноценного числа достоверным не является.

Рассмотрим состояние проблемы на примере однофакторной функции с использованием общепринятых обозначений.

Имеется функция: f(х₀) = y₀ = х²; её полное приращение составит: ∆y= 2х∆х + ∆х² (1) и при ∆х® 0 получаем: f(х) – f(х₀) » dy = 2х∆х (2). Дифференциал функции dy получен за счёт исключения из полного приращения второго слагаемого – хвоста прироста (остаточного члена ∆х²), а dy – часть полного приращения, представляет усечённую конечную величину, поэтому результат не может быть верным по определению. Внутренняя непрочность фундамента, на котором выстраивается математический анализ, даёт основание считать, что при переходе к высшей математике лежат непреодолимые трудности, поскольку отбрасывание остаточного члена не ведёт к его исчезновению. В действительности остаточный член не исчезает и не уничтожается, а продолжает существовать как данность, содержащий определённую информацию о своём составе.

Соблюдение элементарного правила означает: математический анализ должен строиться на основе обычных действий алгебры и геометрии и общего учения о величинах. Необходимо использовать строго аналитический подход для установления непосредственной связи между элементарной и высшей математикой, поскольку иные предложения будут носить временный характер. Вопрос касается пересмотра базовой основы математического анализа: в расчётах необходим учёт всех величин, в том числе и величин более высокого порядка малости. Главное представить строго-аналитическое обоснование математического анализа без каких-либо допущений и предположений.

Принятое в дифференциальном исчислении субъективное мнение о стремлении ∆х® 0 нельзя признать законным, как и условие о пренебрежении в расчётах величинами возрастающих порядков малости. Учёт полного приращения функции ∆y необходим для утверждения математики в качестве точной науки. При несоблюдении этого правила метод дифференциального исчисления ставится под сомнение. Необходим отказ от укоренившегося представления на остаточные члены как на «смущающие умы остатки», – природа не основывается на принятых математиками принципах и допущениях. Но при дифференциальном исчислении требование практики оказалось превалирующим над строгостью математического доказательства: последнее уступило место демонстрации практической пользы за счёт введения сомнительных правил и процедур.

Использование dy вместо ∆y отражает приближённый результат приращения, облегчающий вычислительные операции при нахождении производных функций, что позволило строить логические конструкции. Приравнивание ∆y к dy – не является истинным, а следует из неравенства (∆y ¹ dy) как искусственно-приближённый метод. В свою очередь, равенство ∆х = dх выполняется строго, как одинаковые линейные части абсциссы оси Х, а величина ∆х выступает мерой измерения как ∆y, так и dy. Отметим следующий момент: считается, что ∆х® 0 – величина первого порядка малости и в отличие от величин более высокого порядка малости не подлежит отбрасыванию, а выступает как необходимый элемент анализа.

Процесс дифференцирования означает нахождение производной функции в виде отношения: f ^/(х) » dy/dх = 2х (3), – это формула приближённого равенства. Выражение: f ^/_р(х)=∆y/∆х = (2х∆х + ∆х²)/∆х=2х + ∆х (4) – формула точного равенства [2]. В математическом анализе приближённую формулу производной функции обозначают как f ^/(х), а для точного обозначения производной однофакторной функции относительно полного приращения, следует использовать иное обозначение – f ^/_Р(х), которое соответствует реальному положению вещей.

Функция f(х₀) = х² – представляет само явление, в то время как её производная f ^/(х) – раскрывает тенденцию в изменении приращения относительно величины ∆х, принятую за меру измерения. Результат вычисления производной функции по приближённым формулам приращения не может быть точным.

Придерживаемся правила: при решении усложняющейся задачи следует использовать новую систему понятий и соответствующие им обозначения. С этой целью при переходе к точно-однозначному определению производной функции вводится новое обозначение, отражающее действительное состояние явления. При использовании f ^/_Р(х) вместо f ^/(х) имеет место уже не дифференциальное исчисление, а метод точного определения производной функции относительно величины полного приращения. В этом случае само обозначение и название дифференциального исчисления теряет смысл, так как теперь речь идёт о точном определении производной функции относительно полного приращения. Метод дифференциального исчисления следует отнести к частному случаю общего правила по точному определению производной функции вне зависимости от численных значений приростных величин.

Практически верный результат при дифференцировании получается по той причине, что величина приращения находится в числовой области, где доминируют величины одного порядка малости, а результат производной функции переходит в другую числовую область, определяемую конкретными значениями х, практически несопоставимой с ∆х® 0. Формула производной функции есть отношение величин одного порядка малости, в результате порядок степени взаимно уравновешивается и получаем абсолютное значение относительной величины, означающей возвращение в область первоначальных значений, из которых образовалась функция, что иллюстрируют формулы (3) и (4). Данному явлению имеется объяснение: отношение двух предметов (например – диагонали квадрата к его стороне) имеет не только абсолютное, но и относительное значение, которое не зависит от размера измеряемых величин. «Относительное» переходит в абсолютное значение, оставаясь относительной величиной, и это отношение не зависит от выбора масштаба измерения, – какой бы масштаб не использовать результат останется неизменным.

Производная функция f ^/ _Р(х) показывает, во сколько раз величина полного приращения площади (2х∆х + ∆х²) превышает конкретную величину её аргумента – единицу масштаба приращения (∆х). В данном случае она больше в (2х + ∆х) раза и это уже не размер площади, а линейная величина, выражающая первичное значение функции: имеет место возвращение к состоянию, из которого первоначально возникла функция. Но в таком случае значение ∆х® 0 в производной функции строго определено и выступает в качестве конкретного количества, то есть является архимедовой величиной, а не неопределённой б.м.в. или некой актуальной бесконечностью. Если бы значение ∆х® 0 являлось неопределённой б.м.в., то получить результат в виде конкретной первоначальной величины равной: (2х + ∆х) – было бы нельзя.

Приведение производной функции к первоначальной размерности не мистификация, но следует принять во внимание, что числовые области, занимаемые (2х) и (∆х® 0), – несопоставимы по своим абсолютным значениям. «Лейбниц и Ньютон, – отмечает В.Я. Перминов, – завершили эти работы созданием алгоритмов, позволяющих единообразным путем решать все эти, на первый взгляд, разнородные задачи. Эти алгоритмы, будучи приняты, подверглись, однако, критике за неясность в основных понятиях» [3].

Усилия учёных по поиску путей обоснования дифференциального исчисления способствовали появлению символического метода. В начале ХIХ столетия О. Коши, отбросив неопределённую теорию б.м.в., осуществил, –– по мнению Н.Н. Лузина, – на новом уровне возврат к понятию предела, которым широко пользовался Ньютон [4].

О. Коши, усовершенствовав достижения своих предшественников, придал понятию предела необходимую строгость в обосновании отказа от учёта приращений второго и последующих порядков малости. Изменилась методика и фразеология доказательства, но сам принцип отказа от использования величин более высокого порядка малости (e и d) – остался в неприкосновенности. Но поскольку до концепции предела обоснования анализа фактически не существовало, то появление нового разъяснения его природы многих учёных устроило. Теория предела, согласно современным представлениям, означает снятие разности между функциями [f(х) – f(х₀)], которая происходит при помощи предельного перехода от ∆х® к 0. За неимением лучшего теория предела получила права гражданства и вселяла уверенность, что второй кризис основ математики окончательно преодолён и открываются широкие возможности для оперирования основными положениями в математическом анализе. Переход к символическому исчислению объяснялся необходимостью избавиться от применения неопределёнными б.м.в.

Ко второй половине ХХ столетия окончательно сформировавшаяся концепция предела подменила содержательную сторону математики, а дифференциальное исчисление выступило не как научный метод, а как способ приближённого исчисления. Такое положение вещей более чем устроило практику за счёт значительного упрощения формул и облегчения вычислений, а вся высшая математика попала в полную зависимость от понятия предела, который как символ позволил упростить вычисления. Но результат, при отбрасывании части от целого, не может быть точным, при этом научному сообществу не был представлен строгой метод, – формула или алгоритм для точного определения производной функции f ^/_Р(х), что позволило бы осознанно использовать приближённый способ вычисления. При отбрасывании второго и последующих порядков малости в ряде случаев может возникнуть существенная ошибка. Реальное обоснование не может основываться на субъективно принятом условии, что ∆х® 0. Введение предела позволило последующие члены приращения представить исчезающими величинами, но такое допущение противоречит практике и логике: в реальности приращения могут не только уменьшаться, но и увеличиваться. Метод нахождения точного значения производной функции должен работать надёжно во всех без исключений случаях.

Использование в математическом анализе предела – есть искусственный приём, позволивший избавиться в расчётах от несоизмеримых величин и упростить вычисления. Именно предел создал непреодолимый рубеж между элементарной и высшей математикой. Установление между ними непосредственно-прямой зависимости должно быть осуществлено по алгебраическим правилам.

Со временем учёные установили, что представленное О. Коши обоснование предела недостаточно и противоречиво. В своем анализе он опирался на понятие действительного числа, а иррациональное число трактовал как предел последовательности рациональных чисел. Для выхода из этого логического тупика необходимо было обосновать свойства действительных чисел как-то иначе, без отсылки к понятию предела, а не таким образом, когда одно значение предела определялось посредством другого [5].

Концепция, представленная О. Коши и уточнённая К. Вейршрассом, – строго аналитической не является. Она означает отказ от принятых в элементарной математике норм и предлагает осуществить переход на другой уровень анализа, где пренебрегают значениями приращений второго и последующих порядков малости. Но, несмотря на существующие сомнения в отсутствии надёжного обоснования математического анализа, он находит всё более широкое применение, хотя в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе. Математический анализ, за счёт привлечения предела – недостоверного основания, достиг своей последней конкретности, а усилия учёных представить ему строгое обоснование, – оказались исчерпаны и не вышли на аналитический уровень.

Постепенно к концепции предела накапливались вопросы принципиального характера; отметим некоторые из них. Предел это:

- просто голая абстракция или идея числа, пребывающая сама в себе;

- символ, а не знак математического действия, который не имеет физического значения, а потому может существовать лишь как вспомогательное средство;

- не математическая операция, а искусственный метод по устранению остаточных членов;

- отказ от элементарных требований к математической строгости;

- чисто порядковое (метафизическое) понятие, а не количественная зависимость;

- эмпирический и прагматический подход к математическому анализу [6].

Использование символического исчисления позволило отказаться от неопределённых б.м.в. и обосновать именно само понятие предела, а не метод по точному определению производной функции f ^/_р(х). Существует принципиальное различие между обоснованием предела, как метода символического исчисления, и методом точного нахождения производной функции на основе правил элементарной математики. Первое основано на субъективно принятом приёме – метафизическом подходе для получения приближённо-правильного результата; второе – строго математически обоснованно и обеспечивает получение точного результата. Применение предела постоянно воспроизводит сомнение в его научной обоснованности, а дифференциальное исчисление предлагается принять так, как оно есть, – в него следует просто верить, аналогично тому, как при умножении минус на минус следует верить, что получается плюс. Но любое принятое на веру положение, которое аналитически не доказано, нуждается в строгом обосновании.

С помощью предела происходит разъяснение особенности дифференциального исчисления, а обоснование реально происходящих процессов, как таковое, – отсутствует. Принцип предела основан на предположении, что вторые и последующие приращения стремятся к нулю, то есть метод не универсален, а значение производной функции заранее ограничено. Использование предела усугубило ситуацию по подтверждению неразрывного единства между элементарной и высшей математикой. Установить с помощью предела между ними прямую и непосредственную связь не удалось. Применение предела – искусственное ограничение точности происходящих процессов, что противоречит главному математическому правилу – принципу строгости.

Концепция предела свидетельствует: разрешение второго кризиса основ математики оказалось весьма условным и носит временный характер. Сложились объективные предпосылки для аналитического обоснования математического анализа и установления непротиворечивого единства между элементарной и высшей математикой. При этом речь не идёт об отказе от ранее принятых норм и правил, но решение проблемы по точному определению производной функции, открывает новые возможности в постижении математических истин.

Привлечение к анализу актуальных б.м.в. и символического исчисления выступило временной альтернативой аналитическому методу по определению полного значения приращения многофакторной функции и её использованию в расчётах.