2. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

3.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона, когда эмпирическое распределение задано последовательностью равноотстоящих вариант и соответствующих им частот

Постановка задачи в общем виде:

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

xi	x1	x2	…	xN
ni	n1	n2	…	nN

Требуется: используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

Порядок решения:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить выборочную среднюю x_{в ср} и выборочное среднее квадратическое отклонение σ_в.

Для этого можно применить:

- непосредственное вычисление (при малом числе наблюдений);

- вычисление упрощенным методом – методом произведений или методом сумм (при большом числе наблюдений).

2. Вычислить теоретические частоты по формуле:

n_i = [(n*h)/ σ_в]*φ(u_i),

где n –объем выборки (сумма всех частот);

h – шаг (разность между двумя соседними вариантами):

u _i=( x_i - x_{в ср})/ σ_в;

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого необходимо:

- найти наблюдаемое значение критерия хи-квадрат:

- по таблице критических точек распределения χ² (таблица 2) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = s – 3 (где s – число групп выборки) найти критическую точку χ²_кр (α; k) правосторонней критической области.

Если χ²_набл < χ²_кр – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).

Если χ²_набл > χ²_кр – гипотезу отвергают, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Задача 7 (Закрепление понятия «степень свободы»).

Показать приемлемость нахождения числа степеней свободы по формуле k = s – 3 при проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона.

Решение:

При использовании критерия Пирсона число степеней свободы k равно:

k = s -1 – r, где r – число параметров, оцениваемых по выборке.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ.

Так как оба эти параметра оценивались по выборке (в качестве оценки а принимают выборочную среднюю, а в качестве оценки σ – выборочное среднее квадратическое отклонение), то r = 2, следовательно:

k = s - 1 – 2 = s -3.

Задача 8.

Проверить с использованием критерия Пирсона при уровне значимости 0,05, согласовывается ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n =200. Исходные данные для расчетов приведены в следующей таблице распределения частот:

xi	5	7	9	11	13	15	17	19	21
ni	15	26	25	30	26	21	24	20	13

Решение:

Найдем значение выборочной средней x_{в ср}.

n = ∑n_i = 200.

x_{в ср} = (n₁x₁ + n₂x₂ +…+ n₉x₉)/n = 2526/200 = 12,63.

Найдем значение выборочного среднего квадратического отклонения - σ_в.

σ_в = √ σ_в²

D_в = [15(5-12,63)²+26(7-12,63)²+…+13(21-12,63)²]/200 = 4408,62/200 = 22,0431.

σ_в = √ D_в = √22,0431 = 4,695.

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что n = 200; h = 2; σ_в =4,695, по формуле:

n_i^/ =[ (n*h)/ σ_в]*φ(u_i) = =[ (200*2)/ 4,695]*φ(u_i)= 85,2*φ(u_i).

Таблица 3.

Значения функции нормального распределения

х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3870	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3830	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1267	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Составим расчетную таблицу 4, куда поместим результаты расчетов. Значения функции φ(u) возьмем из таблицы 3.

Таблица 4.

i	xi	ui=(xi-xв ср)/σв	φ(ui)	ni/=85,2* φ(ui)
1	5	-1,62	0,1074	9,1
2	7	-1,20	0,1942	16,5
3	9	-0,77	0,2966	25,3
4	11	-0,35	0,3752	32,0
5	13	0,08	0,3977	33,9
6	15	0,51	0,3503	29,8
7	17	0,93	0,2589	22,0
8	19	1,36	0,1582	13,5
9	21	1,78	0,0818	7,0

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Полученные результаты запишем в таблицу 5.

Таблица 5.

i	ni	ni/	ni- ni/	(ni- ni/)2	(ni- ni/)2/ ni/
1	15	9,1	5,9	34,81	3,8
2	26	16,5	9,5	90,25	5,5
3	25	25,3	-0,3	0,09	0,0
4	30	32,0	-2,0	4,00	0,1
5	26	33,9	-7,9	62,41	1,8
6	21	29,8	-8,8	77,44	2,6
7	24	22,0	2,0	4,00	0,2
8	20	13,5	6,5	42,25	3,1
9	13	7,0	6,0	36,00	5,1
∑	200				χ2набл=22,2

Из таблицы 5 находим χ²_набл=22,2.

По таблице критических точек распределения χ² (см. таблицу 2), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s -3 = 9 – 3 = 6 находим критическую точку правосторонней критической области:

χ²_кр (0,05; 6) = 12,6.

Так как χ²_набл > χ²_кр – гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Задача 9. (Решается студентами самостоятельно)

Проверить с использованием критерия Пирсона при уровне значимости 0,05, согласовывается ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n =200. Исходные данные для расчетов приведены в следующей таблице распределения частот:

xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3
ni	6	9	26	25	30	26	21	24	20	8	5

3.2. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона, когда эмпирическое распределение задано последовательностью интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот

Постановка задачи в общем виде:

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов (x_i, x_i+1) и соответствующих им частот n_i (n_i – сумма частот, которые попали в i-ый интервал:

x1, x2	x2, x3	…	xs, xs+1
n1	n2	…	ns

Требуется: используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

Порядок решения:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить выборочную среднюю x_{в ср} и выборочное среднее квадратическое отклонение σ_в, причем в качестве вариант x_i^* принимают среднее арифметическое концов интервала:

x_i^* = (x_i + x_i+1)/2.

2. Провести нормирование генеральной совокупности X, то есть перейти к случайной величине Z = (X – x_ср^*)/σ^* и вычислить концы интервалов:

z_i = (x_i – x_ср^*)/σ^*, z_i+1 = (x_i+1 – x_ср^*)/σ^*,

причем наименьшее значение Z, то есть z₁, полагают равным -∞, а наибольшее, то есть z_s+1, полагают равным ∞.

3. Вычисляются теоретические частоты:

n_i^/ = n* P_i,

где n – объем выборки (сумма всех частот);

P_i = Ф(z_i+1) - Ф(z_i) – вероятности попадания X в интервалы (x_i + x_i+1);

Ф(Z) – функция Лапласа.

4. Сравниваются эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчетную таблицу (аналог таблицы 5), по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона:

χ²_набл = ∑( n_i - n_i^/)²/ n_i^/;

б) по таблице критических точек распределения χ² (таблица 2) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = s – 3 (где s – число интервалов выборки) находят критическую точку χ²_кр (α; k) правосторонней критической области.

- Если χ²_набл < χ²_кр – нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).

Если χ²_набл > χ²_кр – гипотезу отвергают, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Задача 10.

Проверить с использованием критерия Пирсона при уровне значимости 0,05, согласовывается ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n =100. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 6:

Таблица 6.

Номер интервала, i	Граница интервала		Частота, ni
	xi	xi+1
1	3	8	6
2	8	13	8
3	13	18	15
4	18	23	40
5	23	28	16
6	28	33	8
7	33	38	7
			n=100

Решение:

Найдем значение выборочной средней x_{в ср}.

Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты x_i^* среднее арифметическое концов интервала:

x_i^* = (x_i + x_i+1)/2.

В итоге получим распределение:

xi*	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5
ni	6	8	15	40	16	8	7

x_ср ^* = (n₁x₁ + n₂x₂ +…+ n₇x₇)/n = 2070/100 = 20,70.

Найдем значение выборочного среднего квадратического отклонения - σ^*.

D_в = [6(5,5-20,7)²+8(10,5-20,7)²+…+7(35,5-20,7)²]/100 = 5296/100 = 52,96.

σ^* = √ D_в = √52,96 = 7,277 = 7,28.

Найдем интервалы (z_i, z_i+1), учитывая, что x_ср ^* =20,7; σ^* = 7,28; 1/ σ^*=0,137.

Составим расчетную таблицу (таблица 7). Левый конец первого интервала примем равным -∞, а правый конец последнего интервала ∞.

Таблица 7.

i	Границы интервала		xi - xср*	xi+1 - xср*	Границы интервала
	xi	xi+1			zi=( xi* xср*)/ σ*	zi+1=( xi+1* xср*)/ σ*
1	3	8	-	-12,7	- ∞	-1,74
2	8	13	-12,7	-7,7	-1,74	-1,06
3	13	18	-7,7	-2,7	-1,06	-0,37
4	18	23	-2,7	2,3	-0,37	0,32
5	23	28	2,3	7,3	0,32	1,00
6	28	33	7,3	12,3	1,00	1,69
7	33	38	12,3	-	1,69	∞

Найдем теоретические вероятности P_i и теоретические частоты:

n_i^/ = n* P_i.

Результаты сведем в расчетную таблицу 8.

Таблица 8.

i	Границы интервала		Ф(zi)	Ф(zi+1)	Pi= Ф(zi+1)- Ф(zi)	ni/=100 Pi
	zi	zi+1
1	-	-1,74	-0,5000	-0,4591	0,0409	4,09
2	-1,74	-1,06	-0,4591	-03534	0,1037	10,37
3	-1,06	-0,37	-03534	-0,1443	0,2111	21,11
4	-0,37	0,32	-0,1443	0,1255	0,2698	26,98
5	0,32	1,00	0,1255	0,3413	0,2158	21,58
6	1,00	1,69	0,3413	0,4545	0,1132	11,32
7	1,69		0,4545	-0,5000	0,0455	4,55

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 9.

Таблица 9.

1	2	3	4	5	6	7	8
i	ni	ni/	ni- ni/	(ni- ni/)2	(ni- ni/)2/ ni/	ni2	ni2/ ni/
1	6	4,09	1,91	3,6481	0,8920	36	8,8019
2	8	10,37	-2,37	5,6169	0,5416	64	6,1716
3	15	21,11	-6,11	37,3321	1,7684	225	10,6584
4	40	26,98	13,02	169,5204	6,2833	1600	59,3052
5	16	21,58	-5,58	31,1364	1,4428	256	11,8628
6	8	11,32	-3,32	11,0224	0,9737	64	5,6537
7	7	4,55	2,45	6,0025	1,3192	49	10,7692
∑	100	100			χ2набл=13,22		113,22

Столбцы 7 и 8 таблицы 9 служат для контроля вычислений по формуле:

χ²_набл = ∑( n_i² - n_i^/) – n.

Контроль: ∑( n_i² - n_i^/) – n = 113,22 – 100 = 13,22 = χ²_набл. Вычисления произведены правильно.

б) по таблице критических точек распределения χ² (таблица 2) по заданному уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = s – 3 = 7 – 3 = 4 (где s – число интервалов выборки) находим критическую точку χ²_кр (α; k) правосторонней критической области: χ²_кр (0,05; 4) = 9,5 .

Так как χ²_набл > χ²_кр – отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности X, то есть эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. Это означает, что данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.