2.2.3 От нечеткой логики - к нечетким системам и нечетким контроллерам
В предыдущем параграфе мы рассмотрели основные идеи нечеткого вывода с нечеткими входными и выходными данными. Однако, в реальных прикладных задачах управления входные данные – реальные числа (т.е. имеют четкие значения – crisp value) и выходные данные также должны иметь четкие значения. Чтобы обеспечить такой вход/выход, мы осуществим переход от нечеткой логики – к нечеткой системе (или нечеткой модели).
Базовая структура нечеткой системы показана на рис. 2.14. Мы будем использовать эту структуру в инженерных прикладных задачах управления. Поэтому структура нечеткого контроллера (или регулятора) повторяет структуру нечеткой системы, показанной на рис. 2.14.
Рис. 2.14. Базовая структура нечеткой системы (нечеткого контроллера)
Итак, нечеткий контроллер состоит из следующих блоков:
БЗ (Knowledge Base), содержащая базу нечетких правил и базу данных (Data Base);
Механизм нечеткого вывода (Inference Mechanism);
Блоки фаззификации и дефаззификации (Fuzzification/Defuzzification modules).
База нечетких правил состоит из множества правил типа «если – то». База данных содержит информацию о типах и параметрах функций принадлежности, используемых в нечетких правилах.
Блок фаззификации преобразует входное, точное, значение в нечеткое значение. Блок дефаззификации, наоборот, преобразует значения нечеткого множества в выходное, четкое, значение.
2.2.4 Типовые фаззификаторы и дефаззификаторы
Фаззификатор осуществляет отображение
четкой точки
(где
- универсальное множество) в нечеткое
множество
в
.
Существуют два возможных варианта
такого отображения:
Синглетон - фаззификатор (singleton fuzzifier); в этом случае нечеткое множество определяется как:
;
Несинглетон - фаззификатор
(nonsingleton fuzzifier);
в этом случае
и значение
убывает.
Например,
,
где
-
параметр, характеризующий форму
.
Примечание. Во многих приложениях, включая управление динамическими объектами, используется синглетон - фаззификатор, несинглетон - фаззификатор может быть полезен там, где данные подвержены искажению шумом.
Целью
процесса дефаззификации
является извлечение четкого выходного
значения из результата нечеткого вывода
,
.
Таким образом, дефаззификатор осуществляет
отображение нечеткого множества в
в четкую точку
.
Существуют несколько вариантов такого
отображения, например, такие:
максимум-дефаззификатор (maximum defuzzifier) определяется как
(взять аргумент супремума
функции);
дефаззификатор «по центру тяжести» (center of gravity defuzzifier):
для непрерывного случая;
и
для дискретного случая,
где - результата нечеткого вывода после применения всех правил.
дефаззификатор «средний максимум» (center average defuzzifier):
,
где
-
выходное нечеткое множество после
применения нечеткого правила l,
-
значение центра (максимума) нечеткого
множества
,
M – число нечетких
правил.
Нечеткие системы как универсальные аппроксиматоры
Методология нечеткого моделирования основана на важнейших теоремах (необходимые и достаточные условия), согласно которым нечеткие системы обладают свойствами универсальных аппроксиматоров (universal approximators ).
Теорема о необходимых условиях
(Wang L.-X.,
Kosko B.): Для
любой действительной непрерывной
функции
на компактном множестве
и произвольной
существует нечеткая логическая система
(с нечеткой импликацией в виде нечеткой
конъюнкции (умножения), с
синглетон-фаззификатором,
дефаззификатором «по центру тяжести»
и Гауссовскими функциями принадлежности)
такая, что
.
Эти теоремы были доказаны Wang L.-X. [7] и Kosko B.
Теорема о достаточных условиях: Нечеткая логическая система может аппроксимировать любую действительную непрерывную функцию.
Эта теорема была доказана Buckley J.J.
Эти две теоремы объясняют, почему нечеткие системы так привлекательны в инженерных приложениях теории управления: нечеткие контроллеры могут рассматриваться как универсальные аппроксиматоры систем с неизвестной динамикой и структурой.