2.2.2.2 Процесс нечеткого вывода

Прежде, чем рассмотреть процесс нечеткого вывода, обсудим модель процесс рассуждений (reasoning process) в общем виде, который проиллюстрирован на рис. 2.10.

Примечание. Представленные на рис. 2.10 английские термины имеют следующий перевод:

Current data – текущие входные данные;

Reasoning scheme – схема рассуждения;

KB (Knowledge Base) – БЗ; A set of Rules- множество правил;

New Facts – новые факты.

Рис. 2.10. Общая схема процесса рассуждений

В общем случае, процесс рассуждений, или вывод (inference), состоит из двух этапов:

1. сопоставление (matching) входных данных (A1,A2,…) с левыми частями правил, содержащихся в БЗ, и

2. вывод (Inferring) выходных данных (фактов) (B1, B2,…) с использованием законов вывода.

Рассмотрим вначале классический вывод.

Классические схемы вывода

Обратимся к классической пропозициональной логике (classical propositional logic) или логике высказываний. Наиболее популярными законами вывода в логике высказываний являются так называемые законы «модус поненс» (modus ponens) и «модус толленс» (modus tollens), приведенные ниже.

Modus ponens правило вывода: ,

которое означает следующее: если имеется правило и истинное входное данное Y и Y =A, тогда мы можем вывести, что B тоже истинно.

Другими словами, зная, что высказывания и истинны, можно сказать, что высказывание также истинно (верно).

Modus tollens правило вывода: ,

которое означает следующее: если имеется правило и истинное входное данное Y = (не ), тогда мы можем сказать, что высказывание также верно, то есть высказывание ложно.

Другие законы вывода также используются в логике высказываний, например, следующие:

Закон силлогизма (Law of syllogism): ;

Закон противоположностей (Law of contra positive): ;

Закон двойного отрицания (Law of double negation): .

Перепишем теперь традиционный закон вывода modus ponens следующим образом:

Посылка 1 (входной факт): есть

Правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Заключение: есть

Отметим главные особенности классической схемы вывода:

• мы делаем точное сопоставление (exact matching) входных данных (фактов) с левыми частями правил (импликаций);

• мы имеем дело с двузначными величинами истинности (истинно/ложно) входных и выходных данных.

Нечеткий вывод

Процесс нечеткого вывода показан на рис. 2.11.

Мы сопоставляем нечеткие входные данные с левыми частями нечетких правил (нечеткой импликации) и нечеткий выход получаем с применением нечеткого закона вывода.

Рассмотрим закон вывода в нечеткой логике. Этот закон называется обобщенный «модус поненс» (generalized modus ponens):

,

что означает следующее: если мы имеем нечеткое правило и нечеткий вход ( ), то мы можем сделать выходное заключение ( ).

Перепишем эту схему вывода следующим образом:

Посылка 1 ( нечеткий вход): есть

Нечеткое правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Нечеткое заключение: есть

Рис. 2.11. Процесс нечеткого вывода

Таким образом, мы можем видеть две основные особенности нечеткой схемы вывода.

• мы делаем приближенное сопоставление (approximate matching) входных данных (фактов) с левыми частями правил (импликаций);

• мы имеем дело с непрерывными величинами истинности (continuous-valued truth values) входных и выходных данных.

Сформулируем теперь основную проблему нечеткого логического вывода: если мы знаем функции принадлежности входных данных и функции принадлежности левых и правых частей нечеткого правила , то как определить функцию принадлежности заключения ?

Нечеткий вывод, основанный на правиле max-min композиции

Итак, опишем следующую проблему.

Пусть - нечеткое множество в X и R - нечеткое бинарное отношение в X Y : .

Рассмотрим следующий нечеткий вывод:

Посылка 1 ( нечеткий вход): есть

Нечеткое правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Нечеткое заключение: есть

Поставим следующую задачу: построить нечеткое множество в Y.

Рассмотрим метод ее решения.

Нечеткое правило может быть рассмотрено как нечеткое бинарное отношение в двумерном пространстве с некоторой функцией принадлежности , где . Следовательно, R есть двумерное нечеткое множество с двумерной функцией принадлежности .

Для построения множества сделаем следующие шаги:

1. построить цилиндрическое расширение (cylindrical extension) с основой . Обозначим его как . Это означает, что мы расширили домен в X на X Y.

2. найти пересечение с множеством R, т.е. найти .

3. сделать проекцию пересечения на ось Y. Эта проекция и будет результирующее нечеткое множество в Y.

Запишем эти шаги формально.

Пусть , , и есть функции принадлежности , , и соответственно.

= по определению цилиндрического расширения.

Но из определению пересечения нечетких множеств имеем

.

Далее, проецируя на ось Y, мы имеем (по определению проекции):

= = . (2.1)

Формула (2.1) называется max-min композицией (max-min composition). Обозначим эту композицию символом “ ” и представим ее в символьной форме как:

. (2.2)

Если мы выберем в качестве операции нечеткого пересечения операцию умножения (функций принадлежности), то мы будем иметь правило max-product композиции:

= . (2.3)

Формулы (2.1) и (2.3) являются наиболее часто применяемыми в нечетком выводе.

Пример: Нечеткий вывод с единственным нечетким правилом, в котором всего один антецедент. Рассмотрим простейший случай, когда мы имеем в БЗ всего одно правило:

Нечеткое правило: ЕСЛИ есть , ТО есть

Правило содержит в левой части только один антецедент «ЕСЛИ есть ».

Перепишем формулу (2.2) с учетом интерпретации для нечеткой импликации в виде:

= .

Тогда

= = =

= . (2.4)

Будем называть - степень активации правила.

Примечание. В литературе этот параметр называется a firing strength of a rule, дословный перевод – «мощность зажигания правила». Будем называть его также силой активации правила.

Пример: Нечеткий вывод с единственным нечетким правилом, в котором два антецедента. Рассмотрим нечеткое правило с двумя антецедентами:

“ЕСЛИ И ТО .”

Данное нечеткое правило представляет тернарное нечеткое отношение R, которое может быть определено следующими функциями принадлежности

(2.5)

Результирующее нечеткое множество может быть представлено как:

= (2.6)

Используя (2.5) и расширение (2.2) на случай (2.6), мы можем вычислить как:

=

(2.7)

Механизм вычисления формулы (2.7) показан графически на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Простая графическая интерпретация схемы нечеткого вывода на основе max-min композиции

Опишем вычисления в формуле (2.7), представленных на рис. 2.12. Находим и (степени активации правила) следующим образом: есть максимум пересечения нечетких множеств A и , есть максимум пересечения нечетких множеств B and . Затем берем значение как минимум из величин и . Результирующее нечеткое множество строится посредством «усечения» функции принадлежности C на величину .

Примечание. Рассмотрим другой тип нечеткого правила:

“ЕСЛИ ИЛИ ТО .”

Тогда степень активации правила вычисляется как максимум из величин _ и _.

Пример: Нечеткий вывод с множеством нечетких правил, в которых много антецедентов. В этом случае схема нечеткого вывода выглядит следующим образом:

Посылка 1 (вход): , and ,

Правило 1: ЕСЛИ И ТО

Правило 2: ЕСЛИ И ТО

Заключение (выход):

Рис. 2.13. Графическая интерпретация схемы нечеткого вывода на множестве правил

Будем строить нечеткое множество следующим образом:

= (2.8)

Так как оператор max-min композиции обладает дистрибутивным свойством относительно операции « », перепишем (2.8) следующим образом:

­ = =

_{, (2.9)}

где and - результирующие нечеткие множества для правил 1 и 2.

Итак, конечный результат вывода строится как сумма (т.е. мах) нечетких множеств и .

Механизм вычисления формулы (2.9) показан графически на рис. 2.13.

Этот метод нечеткого вывода называется также как минимаксный (min-max) метод нечеткого вывода.