2.2. Нечеткие системы для описания интеллектуальных стратегий управления присущих человеку

Как мы уже говорили, нечеткие системы возникли благодаря желанию описывать стратегии управления сложными системами на качественном, лингвистическом уровне.

Рассмотрим следующий пример рассуждений человека характерных для стратегии управления. Возьмем ситуацию управления автомобилем, где автомобиль движется по прямой полосе дороги, и водитель следит за автомобилем, едущим впереди (рис. 2.1).

Примечание. Представленные на рис. 2.1 английские слова, имеют следующий перевод:

Car under control – управляемый автомобиль;

Car in front of – автомобиль, едущий впереди;

Direction of motion – направление движения;

a distance between cars – расстояние между автомобилями;

a speed of the car – скорость автомобиля.

Рис. 2.1. Эскиз ситуации управления автомобилем на дороге

Оценивая расстояние между автомобилями и скорость движения впереди едущей машины (информация от сенсоров), водитель реализует некоторую стратегию управления автомобилем. Эта стратегия может быть сформулирована обычными словами, например, так: «если расстояние между машинами короткое и машина впереди едет с медленной скоростью, то быстро тормози».

Стратегии управления, присущие человеку, обычно описываются в лингвистической форме. Управление автомобилем может быть, например, описано в виде следующих правил управления (упрощенные варианты).

Правило 1. ЕСЛИ расстояние между машинами небольшое и машина впереди едет с малой скоростью, ТО быстро тормози (ускорение движения - отрицательное большое).

Правило 2. ЕСЛИ расстояние между машинами большое и машина впереди едет со средней скоростью, то не меняй скорость движения (ускорение движения - очень маленькое).

Правило 3. ЕСЛИ расстояние между машинами большое и машина впереди едет с большой скоростью, ТО ускоряйся (ускорение движения - положительно большое).

Для того, чтобы формализовать эти стратегии, нам понадобится математический аппарат, разработанный Заде и развитый далее в теории нечетких систем.

Теория нечетких систем (Fuzzy systems theory) основывается на двух математических аппаратах: теории нечетких множеств (fuzzy sets theory) и нечеткой логике (fuzzy logic). Рассмотрим основные понятия и обсудим особенности двух указанных дисциплин.

2.2.1 Нечеткие множества и их особенности

Нечёткое (или размытое, расплывчатое) множество — понятие, введённое Л. Заде, который расширил классическое (канторовское) понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Определение: нечеткое множество (a fuzzy set)

Пусть  есть некоторое универсальное множество (универсум). Тогда нечеткое множество  в определяется как упорядоченное множество пар

= ,

где называется функцией принадлежности (ФП) элемента х к нечеткому множеству .

ФП приписывает каждому элементу из  значение из интервала [0, 1], которое называется степенью принадлежности х к  или нечеткой мерой.

Нечеткая мера может быть рассмотрена как степень истинности того, что элемент х принадлежит _.

Определение: основа нечеткого множества (a support of a fuzzy set)

Основой нечеткого множества  является множество всех точек таких, что .

Таким образом, определение нечеткого множества является расширением определения классического множества, в котором характеристическая функция может принимать непрерывные значения между 0 и 1. Универсум  может быть дискретным или непрерывным множеством.

Для представления ФП обычно используется несколько типов параметрических функций.

Типовые представления ФП

Треугольные ФП (рис. 2.2, а) описываются тремя параметрами {a, b, c}, которые определяют x координаты трех углов треугольника следующим образом:

.

Трапециидальные ФП (рис. 2.2, в) описываются четырьмя параметрами {a,b,c,d}, которые определяют x координаты четырех углов трапеции следующим образом:

.

Рис. 2.2. Треугольная и трапецеидальная ФП

Гауссовские ФП (рис. 2.3) специфицируются двумя параметрами и представляют собой следующую функцию: .

Рис. 2.3. Гауссовская ФП

Лингвистические переменные

Одним из фундаментальных понятий, введенных также Л.Заде, является понятие лингвистической переменной.

Определение: лингвистическая переменная (ЛП) представляет собой следующую пятерку , где – имя переменной, – терм-множество, задающее множество значений ЛП, являющихся языковыми выражениями (синтагмами), X – универсум, G – синтаксическое правило, используя которое мы можем формировать синтагмы , M – семантическое правило, используя которое каждой синтагме приписывается ее значение, являющееся нечетким множеством в универсуме X.

Примером ЛП может служить, например, переменная = «возраст». Ее терм-множество может быть, например, следующим:

(возраст) = {очень молодой, молодой, более или менее молодой, средних лет, старый, очень старый}.

Универсумом для данной ЛП может служить некоторое множество действительных чисел, например, интервал . Семантическое правило М приписывает термам из T (возраст) значения, являющиеся различными модификациями нечетких множеств.

Вернемся к нашему примеру управления движением автомобиля и опишем лингвистические значения в выше приведенных правилах с помощью нечетких множеств. Рассмотрим следующие лингвистические переменные:

x – расстояние между машинами;

y – скорость впереди едущей машины;

z – ускорение управляемого автомобиля.

ФП должны быть определены в соответствии с рассматриваемой ситуацией управления. Так, например, скорость равная 70 км/час является «большой» в ситуации движения по городской дороге и может рассматриваться как «небольшая» в ситуации движения по скоростному шоссе.

Определим для нашего примера следующие универсумы:

[м], [км/час],

[км/час²].

На рис. 2.4 показаны ФП для описания лингвистических значений «небольшая» (slow) и «большая» (fast) для скорости и «близкое» (short) и «большое» (long) для расстояния.

Рис. 2.4. Нечеткие множества для задачи управления простейшим движением автомобиля

Различия между классическим и нечетким представлением множества

Обсудим эти различия с использованием следующего примера. Рассмотрим классическое и нечеткое представления множества для описания лингвистического значения «короткий» (для расстояния).

На рис. 2.5 показаны различия между классическим и нечетким представлением множества  для данного примера.

Рис. 2.5. Классическое и нечеткое представления множества A

Определим классическое представление множества  так, как показано на рис. 2.5 слева. В этом случае характеристическая функция будет:

Нечеткое представление множества  показано на рис. 2.5 справа. В этом случае функция принадлежности ФП выглядит следующим образом:

.

Зададим теперь следующий вопрос: принадлежит ли точка м или точка м множеству?

С точки зрения классического представления ответ «нет». С точки зрения человеческого восприятия ответ скорее «да», чем «нет». С точки зрения нечеткого представления ответ «да».

Таким образом, данный простой пример наглядно показывает, что нечеткий подход более близок к естественному, человеческому, и обладает большей гибкостью, нежели классический подход.

С помощью нечетких множеств мы можем описывать нечеткие границы.

Основные операции в теории нечетких множеств

Определим основные нечеткие операции следующим образом.

Определение: нечеткое подмножество (Fuzzy Containment или Fuzzy Subset). Нечеткое множество  содержится в нечетком множестве  (или, эквивалентно, является подмножеством ) тогда и только тогда, когда для всех . В символьной форме:

.

Определение: эквивалентность нечетких множеств (Equality of Fuzzy Sets). Эквивалентность (равенство) нечетких множеств  и  определяется следующим образом:

для каждого .

Определение: нечеткое объединение или нечеткая дизъюнкция (Fuzzy Union). Объединение двух нечетких множеств  и  (в символьной форме пишется как или A OR B или A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

= .

Определение: нечеткое пересечение (Fuzzy Intersection). Пересечение двух нечетких множеств  и  (в символьной форме записывается как , или C = A AND B, или C = A B) есть нечеткое множество , ФП которого определяется следующим образом:

= .

Определение: нечеткое дополнение. Дополнение  (в символьной форме пишется как или ) есть нечеткое, ФП которого определяется следующим образом:

.

На рис 2.6 показаны примеры нечетких операций над нечеткими множествами.

Рис. 2.6. Примеры нечетких операций над нечеткими множествами

Особенности нечетких множеств

Отметим важные особенности теории нечетких множеств.

1) Закон исключенного третьего и закон контрадикции , где - пустое множество верны в классической теории множеств, однако в теории нечетких множеств в общем случае они не выполняются.

Закон исключенного третьего и закон контрадикции в нечеткой теории выглядят следующим образом: и .

2) В классической теории множеств точка из множества  может иметь одну из двух возможностей: or . В нечеткой теории точка может принадлежать множеству  и одновременно не принадлежать  (т.е. принадлежать множеству ) с различными значениями функций принадлежности и , как показано на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Особенность нечетких множеств

Это означает, что в процессе нечетких рассуждений мы можем одновременно рассматривать две возможности, что делает процесс рассуждений более гибким, чем классический.

3) Связь с теорией вероятности. Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Описание последовательности теорем, описывающих это сведение, находится вне рамок данной книги [см. ссылки в сайте википедии]. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности можно рассматривать как вероятность накрытия элемента некоторым случайным множеством . Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.