1.1. Приклад побудови лінії перетину багатогранних поверхонь.
Перетин двох призм, коли одна з них (її бічні ребра) перебуває в проекціюючому положенні, зображено на рисунку 2.
Із фронтальної проекції видно, що бічна поверхня призми Ф1 займає фронтально - проекціююче положення, а лінія перетину буде складатися з двох віток (входу та виходу).
Призма Ф2 перетинається з гранню призми Ф1, яка обмежена ребрами, що виходять з вершин DE основи по трикутнику 123 (лінії входу) (фронтальна проекція якого 122232), горизонтальну проекцію (112131) якого знаходять з умови інцидентності (відповідності) по лініям зв’язку.
Лінія виходу Ф2 з Ф1 є просторовим п'ятикутником 45687, який належить всім бічним граням Ф2 та граням Ф1, які обмежені ребрами, що виходять з точок (вершин) КD та КE. При цьому точки 6 та 7 (входу та виходу ребра, що виходить з вершини К) визначають, як точки входу так і виходу фронтально - проекціюючого ребра.
Задача зводиться до знаходження точок на поверхні граней. Фронтальні проекції точок 62 та 72 співпадають з проекцією ребра.
Рис. 2. Побудова лінії перетину багатогранників.
Горизонтальні проекції точок входу та виходу ребра 61 та 71 знаходять за допомогою простих ліній, які лежать на поверхні та паралельні бічним ребрам Ф2. Точки ж 5, 8 і 4 знаходять, як і попередні, по лініям зв'язку.
При сполученні точок просторовою лінією слід пам'ятати, що видимим на відповідній проекції буде той відрізок, який належить видимій грані. Тому на горизонтальній проекції відрізки 4-7-8-6-5 не будуть видимими.
Відрізок 1-2 трикутника 123 також буде невидимим, так як грань, що виходить з вершин К і Е закриває дві інші грані у призми Ф1.
1.2. Приклад побудови лінії перетину кривих поверхонь.
На рисунку 3 зображено побудову лінії перетину прямого кругового циліндра, бічна поверхня якого займає фронтально-проекціююче положення, та прямого кругового конуса, вісь якого перпендикулярна до П1.
З рисунка видно, що фронтальна проекція шуканої лінії перетину вже є, це частина дуги кола, в яке спроекціювалась бічна поверхня циліндра. Залишилось знайти горизонтальну проекцію лінії перетину.
Для цього необхідно використати декілька допоміжних січних площин β, µ, ρ, δ, які будуть одночасно перетинати обидві поверхні (конус - по кругам, циліндр - по твірним, які виродились на П2 в точки, що лежать на проекції основ).
Так, наприклад, в результаті застосування площини µ (µ2), паралельної до П1, отримують точки 2 і 10. Це результат перетину найнижчої твірної циліндра з відповідним колом, по якому µ (µ2) перетинає конус.
Точки 1 і 6 знаходять без допоміжних січних площин, як результат перетину обрисової твірної поверхні конуса з бічною поверхнею циліндра. Точки 3, 4, 5 та 7, 8, 9 знаходять з використанням декількох допоміжних січних площин β, ρ, δ, як результат перетину відповідних кіл конуса (дивись на П1) з відповідними твірними циліндра.
З'єднавши з урахуванням видимості знайдені точки (1 – 10 - 1), отримують шукану лінію перетину циліндра та конуса. Точки 4 і 8 являються точками розділу видимості (на П1), тому що знаходяться на крайній обрисовій твірній циліндра.