Задания для самостоятельной работы.

1. Методом математической индукции доказать, что при :

2. Доказать, что при любом

кратно 6;

кратно 5;

кратно 11.

3. С помощью бинома Ньютона записать разложение

.

2. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Основной операцией математического анализа является операция предельного перехода. Сначала рассмотрим простейшую форму предельного перехода на примере числовой последовательности.

Определение. Если каждому натуральному числу 1, 2,…, n,…поставлено в соответствие по определенному закону вещественное число , то множество занумерованных действительных чисел

, ,…, ,…

будем называть числовой последовательностью.

Числа назовем членами, или элементами, числовой последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом (иногда просто ). Так, например, символ обозначает последовательность , а символ  последовательность Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным. Например, множество значений последовательности состоит из двух чисел 1 и –1, множество значений последовательности бесконечно.

Зная -й член последовательности, можно записать любой член последовательности.

Таким образом, числовая последовательность  это функция, определенная на множестве натуральных чисел: .

Пример 1. Выписать первые пять членов последовательности

а) , б) , в)

Решение. а) ;

;

;

;

б) Если , то имеем одно слагаемое и ;

если , то имеем два слагаемых и ;

если , то ;

; .

в) Если (нечетное), то по первой строке ; если (четное), то по второй строке ; если (опять первая строка), то ; ; . ▲

С другой стороны, так как каждый элемент последовательности строится по определенному закону, то, зная несколько первых членов последовательности, можно предположить, как выглядит её -й член.

Пример 2. По нескольким первым членам последовательности записать её -й член:

а) б) ; в) ,

Решение. а) Знаменатели 3, 6, 9…образуют арифметическую прогрессию, первый член которой , разность . Значит,

, тогда .

б) Знаменатели 2,4,8,… изменяются по закону , также происходит чередование знаков, начиная с «+». Значит, .

в) Запишем последовательность в виде Первое слагаемое в числителе всегда равно 1; а знаки второго слагаемого чередуются, начиная с отрицательного, т.е. изменяются по закону . Значит, числитель можно представить в виде . Тогда . ▲

Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны две последовательности и . Суммой этих последовательностей назовем последовательность , разностью – , произведением – , частным – . Для существования последней последовательности необходимо потребовать, чтобы все элементы были отличны от нуля. Если же у последовательности нулю равно конечное число элементов, то последовательность можно определить с того номера, начиная с которого все .

Введем понятие ограниченной числовой последовательности. Само слово «ограниченная» предполагает существование границ, в пределах которых находятся все элементы последовательности.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа и , что любой элемент данной последовательности удовлетворяет неравенствам .

Числа и назовем верхней и нижней гранью последовательности.

Данное определение можно записать в другой форме. Если обозначить через , тогда все элементы последовательности будут удовлетворять неравенству , иначе, . Используя кванторы (существует, найдется) и (любой, для любого), это определение коротко можно записать так:

ограничена ( ).

Пример 3. Последовательность ограничена, так как .

Если же последовательность не ограничена, то не существует границ, в пределах которых находились бы все элементы последовательности.

Определение. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа найдется элемент , удовлетворяющий неравенству или короче

- не ограничена .

Сравнивая определения ограниченной и неограниченной последовательности, замечаем, что кванторы и поменялись местами и знак неравенства изменился на противоположный.

Пример 4. Доказать, что последовательность не ограничена.

Доказательство. Действительно каким бы большим ни было число , обязательно найдётся (чётный) номер , такой что . ▲

Пример 5. Доказать, что последовательность ограничена.

Доказательство . Поскольку неравенство очевидно для , то . Тогда для всех номеров , начиная с первого. Значит, . А это в силу определения и означает ограниченность данной последовательности. ▲