3.1. Сили пружності

Із дослідів відомо, що під час пружних деформацій механічне напруження прямо пропорційне до відносної деформації:

, (3.3)

де коефіцієнт пропорційності Е називають модулем Юнга (Т. Юнг (1773–1829) – англійський учений). Одиниця вимірювання модуля Юнга  [Н/м²].

Із (3.3) випливає, що модуль Юнга чисельно дорівнює напруженню, яке спричинює відносне видовження стрижня, що дорівнює одиниці.

Підставимо в (3.3) праві частини рівнянь (3.1) і (3.2):

. (3.4)

З останньої рівності знайдемо сумарну пружну силу

, (2.3.5)

де k = ES/l₀.

У рівнянні (3.5) врахуємо знаком "–" такий експериментальний факт: під час деформації твердого тіла в ньому виникають сили пружності F_пр, які завжди напрямлені проти зовнішніх сил, що зумовлюють деформацію (рис. 3.2): рис. 3.2

, (3.6)

де k  коефіцієнт пружності. Рівність (3.6) є математичним записом закону Гука: сила пружності F_пр, яка виникає в разі малих деформацій, прямо пропорційна до значення деформації l і протилежна до неї за напрямом.

І з рис. 3.3 бачимо, що визначена англійським ученим Р. Гуком (1635–1703) лінійна залежність (3.6) виконується лише у вузьких межах – до так званої межі пропорційності _п. За подальшого збільшення напруження деформація ще пружна, але вже не лінійна. Тому до межі пружності _пр залишкові деформації не виникають. За межею пружності в тілі виникають залишкові деформації, і тіло після припинення дії на нього зовнішньої сили не повертається у початковий стан. Напруження, за якого виникає помітна залишкова деформація ( 0,2 %),

рис. 3.3

називають межею текучості (_т). На графіку () їй відпові-дає горизонтальна ділянка, яка відображає, що дефор­мація тіла зростає без збільшення напруження – тіло ніби “тече”. Цю область називають областю текучості (або областю пластичної деформації). З подальшим збільше­нням напруження тіло руйнується. Максимальне напру­ження, яке виникає в тілі до руйнування, називають межею міцності _м.

М атеріали, для яких область текучості значна, називають в’язкими, а в яких її практично нема – крихкими.

Д

h

ля опису деформації зсуву розглянемо паралелепіпед (рис. 3.4), нижню грань якого закріплено нерухомо. Під дією сили відбувається деформація зсуву (здеформований паралелепіпед показано штриховими лініями). Відносну деформацію зсуву визначають за формулою

, (3.7)

де l – абсолютний зсув шарів тіла один відносно одного; h – відстань між шарами. Кут  називають відносним зсувом. Формула (3.7) застосовна для малих кутів  , де справджується співвідношення tg  .

Деформації розтягу (стиску) і зсуву належать до однорідних деформацій, за яких усі малі елементи тіла деформовані однаково. До неоднорідних деформацій належать деформації кручення і згину. У цих випадках деформація всередині тіла у різних точках різна.

3.2. Гравітаційні сили

З давніх-давен люди спостерігали за рухом зірок. У ІІ ст. давньогрецький учений Птоломей (87–165) запропонував геоцентричну систему світу. Він припустив, що кожна з планет рухається по малому колу, центр малого кола рівномірно рухається по великому колу, у центрі якого міститься Земля. На початку XVI ст. польський учений М. Коперник (1473–1543) обґрунтував геоцентричну систему світу, за якою Земля обертається навколо своєї осі і одночасно навколо Сонця по певній орбіті. Німецький учений Й. Кеплер (1571–1630), узагальнивши й уточнивши дані данського астронома Т. Браге (1546–1601), сформулював три закони руху планет (закони Кеплера):

1. кожна планета рухається навколо Сонця по еліпсу, в одному з фокусів якого міститься Сонце;

2. радіус-вектор, проведений від Сонця до планети, замітає однакові площі за однакові проміжки часу;

3. квадрати періодів обертання планет навколо Сонця співвідносяться як куби великих півосей їхніх еліптичних орбіт.

І . Ньютон, вивчаючи рух небесних тіл на підставі законів Кеплера та законів динаміки, визначив закон всесвітнього тяжіння: між будь-якими довільними точковими тілами діє сила взаємного притягання, яка прямо пропорційна до добутку мас точкових тіл m₁ і m₂ та обернено пропорційна до квадрата відстані між ними (рис. 3.5):

, (3.8)

де G  коефіцієнт пропорційності, який називають гравітаційною сталою.

У векторному вигляді закон всесвітнього тяжіння для сили , яка діє з боку першого тіла на друге, має такий вигляд:

, (3.9)

Опустивши індекси у (3.9), отримаємо загальний запис закону всесвітнього тяжіння:

, (3.10)

де визначає напрям дії сили . Зокрема, для сили він збігається з вектором . За сучасними даними, G = 6,6725910^-11 м³кг^-1с^-2. Це мале значення, і тому суттєвим гравітаційне притягання може бути лише між тілами великої маси.

У формулі закону всесвітнього тяжіння є маса, яка характеризує гравітаційні властивості тіл. Цю масу називають гравітаційною. Нагадаємо, що до другого закону Ньютона (1.1) входить маса, що характеризує інерційні властивості тіл, яку називають інертною. Маса в законі всесвітнього тяжіння характеризує здатність тіл створювати поле тяжіння, виражає міру дії на тіло з боку інших тіл. Гравітаційна та інертна маси тіла є характеристиками різних властивостей тіл, оскільки другий закон Ньютона та закон всесвітнього тяжіння незалежні один від одного. За допомогою точних експериментів з’ясовано, що інертна та гравітаційна маси пропорційні одна до одної. Вибираючи одиниці так, щоб коефіцієнт пропорційності дорівнював одиниці, отримаємо, що гравітаційна та інертна маси дорівнюють одна одній. Через це далі йтиметься про гравітаційну та інертну маси як про масу тіла.