5.2.2 Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Якщо функція, що досліджується, задана значеннями в рівновіддалених вузлах інтерполяції, тобто , то для побудови її аналітичної залежності зручно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона.

Для виводу інтерполяційних формул для рівновіддалених вузлів інтерполяції вводиться поняття кінцевої різниці.

Поставимо наступну задачу: для функції , яка задана таблицею значень причому x змінюється з однаковим кроком h, тобто , побудувати кінцеві різниці.

Кінцевою різницею першого порядку називається різність між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції:

В загальному вигляді кінцеву різницю першого порядку можна записати як .

Кінцева різниця другого порядку складається з кінцевих різниць першого порядку:

Кінцева різниця n-го порядку складається з кінцевих різниць -го порядку:

,

або в технічної літературі використовують наступну формулу кінцевої різниці -го порядку:

Нехай необхідно побудувати інтерполяційний багаточлен степеню такий, що

     Будемо шукати багаточлен виду (5.9)

В цьому виразі невідомі коефіцієнти . Для того щоб знайти , покладемо . Тоді при підстановці в вираз (5.9) всі складові, окрім першої, обернуться в нуль, тобто а значення функції в точці відомі з умови задачі: Отже

Щоб знайти коефіцієнт складемо першу кінцеву різницю для багаточлена в точці x:

Зробивши всі підстановки, отримаємо:

Обчислимо першу кінцеву різницю багаточлена в точці Тут також всі члени, окрім першого, обернуться в нуль, і, отже, але

звідки і

Щоб визначити коефіцієнт складаємо кінцеву різницю другого порядку:

Після перетворень отримаємо

Вважаємо ; тоді всі члени, окрім першого, знов обернуться в нуль і Звідси

Обчислюючи кінцеві різниці більш високих порядків і вважаючи , прийдемо до загальної формули для отримання коефіцієнтів:

          (5.10)

де будемо вважати, що та Підставивши знайденні значення коефіцієнтів в вираз (5.9), отримаємо першу інтерполяційну формулу Ньютона.

          (5.11)

На практиці часто використовують формулу Ньютона в іншому вигляді. Для цього введемо заміну де крок інтерполяції, а q - число кроків. Тоді перша інтерполяційна формула Ньютона прийме наступний вигляд:

     (5.12)

Формулу (5.12) зручно використати для інтерполювання на початку відрізку інтерполяції , де q мале за абсолютною величиною.

Якщо за число вузлів інтерполяції прийняти , то отримаємо формулу лінійного інтерполювання

При отримаємо формулу параболічного, або квадратичного інтерполювання

На практиці часто буває необхідно зменшити крок інтерполяції якої-небудь таблиці з рівновіддаленими аргументами. В таблиці можна вважати, що кількість вузлів інтерполяції необмежена. Тоді вибирають так, щоб кінцева різниця була постійна з заданим ступенем точності. За початкове значення можна вибирати будь-яке значення аргументу.

Схема алгоритму інтерполяції табличної функції багаточленом Ньютона представлена на рисунку 5.4.

Рисунок 5.4 – Схема алгоритму інтерполяції табличної функції багаточленом Ньютона

Приклад. Припустимо, що результати експерименту представлені в таблиці 5.2 (перших три стовпця)

З таблиці видно, що

,

Таблиця 5.2 – Результати експерименту

N	x	y
0	0	-1	3	12	6	0	0
1	1	2	15	18	6	0
2	2	17	33	24	6
3	3	50	57	30
4	4	107	87
5	5	194

Побудуємо багаточлен Ньютона:

Q=-1+3x+6(x(x-1))+1(x(x-1)(x-2))+0=-1+3x+6x2-6x+x3-2x2-x2+2x=x3+3x2-x-1

Висновки:

1. За допомогою аналітичної залежності можливо отримати значення функції для , які знаходяться між точками дослідження. отримуємо це називається задачею інтерполяції.

2. За допомогою аналітичної залежності можна отримати значення функції за межами інтервалу дослідження. Наприклад, при . Дана задача називається екстраполяцією або прогнозуванням.