Пример 2.4

Линеаризовать нелинейные уравнения математической модели динамического режима ферментера типа ФЕМН.

Рассмотрим процесс накопления биомассы анаэробных микроорганизмов в емкостном аппарате с перемешиванием (рис.5). Кинетика процесса лимитируется концентрацией субстрата в ферментационной среде, экономический коэффициент по субстрату (выход биомассы на единицу массы потребленного субстрата) имеет постоянное значение, дополнительная подача воздуха в ферментер отсутствует ( P=0 ). Математическая модель ферментера при данных условиях имеет вид :

, (2.4-1)

, (2.4-2)

где X и S – концентрации биомассы в объеме ферментационной среды, S₀ – концентрация субстрата в питательном потоке, - предельное значение удельной скорости роста биомассы, K_s – константа насыщения, D – скорость разбавления, -экономический коэффициент по субстрату, t – время пребывания среды в аппарате.

С целью сокращения числа параметров модели и обобщения результатов представим математическую модель ферментера в безразмерном виде. Для этого введем обозначения:

(2.4-3)

Дать физический смысл обозначениям.

Выразив через них абсолютные величины и подставив их в уравнения (2.4-1) и (2.4-2), получим математическую модель ферментера непрерывного действия в безразмерном виде.

Поведение ферментера в динамике описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений (2.4-4) и (2.4-5), записанных в безразмерном виде

, (2.4-4)

. (2.4-5)

В общем виде представленные выше зависимости можно записать как:

и .

Переменные x и y представляют собой обобщенные переменные состояния ферментера, характеризующие условия протекания процесса в нем, а y₀ и - обобщенные переменные управления, используемые для корректировки хода процесса (как их использовать?).

Рис. 5. Проточный ферментер непрерывного действия.

Исследуем протекание процесса ферментации в окрестности стационарного режима. Линеаризованную модель запишем в абсолютных отклонениях переменных от стационарного состояния.

Стационарный режим характеризуется значениями входных переменных и y₀ =y₀⁰ . Выходные переменные ферментера при заданном стационарном режиме определяются по зависимостям

и x⁰ = y₀⁰- y⁰. (2.4-6)

Математическая модель стационарного режима ферментера имеет вид

, (2.4-7)

. (2.4-8)

Для линеаризации разложим уравнения (2.4-7) и (2.4-8) в ряд Тейлора и отбросим слагаемые второго и более высокого порядка малости. В результате получим

(2.4-9)

. (2.4-10)

Для переноса начала координат в точку стационарного режима (x⁰,y⁰) проведем вычитание уравнений (2.4-7) и (2.4-8) из уравнений (2.4-9) и (2.4-10), принимая во внимание, что из уравнения (2.4-7) получим:

Линеаризованная математическая модель ферментера в абсолютных отклонениях окончательно может быть представлена в виде:

, (2.4-11)

, (2.4-12)

где A=

Полученная система линейных уравнений описывает динамику рассматриваемого ферментера в окрестности стационарного режима.