1.2. Первый тестовый метод ляпунова

Известно, что с помощью введения переменных состояния нелинейное дифференциальное уравнение (1.1) можно свести к нелинейному векторному дифференциальному уравнению вида

. (1.12)

Если нелинейность выражается однозначной аналитической функцией, то в рабочей стационарной точке и вблизи нее первые частные производные , и нелинейных функций конечны, однозначны и непрерывны. Поэтому нелинейную векторную функцию (1.12) можно линеаризовать, используя первые два члена ряда Тейлора – так называемое «первое приближение». В этом случае, отбрасывая члены выше первого порядка малости, получаем приближенное уравнение линеаризованной модели нелинейной системы в переменных пространства состояний

. (1.13)

Или записывая в иной форме, получим

, (1.14)

, (1.15)

где элементы матриц A, B и B₁ соответственно равны , и ; матрица C – матрица выходов.

Первая теорема Ляпунова об устойчивости утверждает, что если нелинейная система заменена линейной моделью первого приближения и полученное при этом характеристическое уравнение

, (1.16)

векторного дифференциального уравнения

, (1.17)

имеет корни с ненулевыми действительными частями , то вопрос об устойчивости решается на основе линейной аппроксимации исходного нелинейного уравнения. В этом случае нелинейности выше первого порядка малости не влияют на устойчивость системы. Если же действительная часть какого-либо корня равна нулю, то данный критерий неприменим к исследуемой системе, так как отброшенные нелинейности влияют на устойчивость и их необходимо учитывать при решении вопроса об устойчивости системы.

В отдельные группы линеаризации можно отнести гармоническую линеаризацию и статистическую.

В дальнейшем будут рассматриваться линейные или линеаризованные детерминированные математические модели ХТП и ХТС с сосредоточенными параметрами. Кроме того, учитывая, что ХТП и ХТС являются сложными системами, то далее будет использоваться термин «динамическая система» - (ДС) как более общее понятие, включающее в себя понятие ХТП и ХТС.

2. Примеры решения задач Пример 2.1

Линеаризовать нелинейные уравнения динамического режима смесителя (рис. 1.1), описывающие изменения уровня L и концентрации Q_3A в зоне идеального смешения, полученные на основе уравнений сохранения масс для потоков в целом и для вещества А:

, (2.1-1)

, (2.1-2)

, (2.1-3)

где – расход i-го потока, м³/c; – концентрация вещества А в i-м потоке, кг/кг; L – уровень жидкости в смесителе, м; А_с – площадь поперечного сечения смесителя, м²; s – проходное сечение клапана на сливном трубопроводе, м²;  - коэффициентом расхода жидкости через клапан; g - ускорение свободного падения, м/с².

Решение

Для линеаризации системы уравнений ДС необходимо провести линеаризацию каждого уравнения. Так как данные функции аналитические, то они допускают разложение в ряд Тейлора.

В рассматриваемой математической модели выходными параметрами являются Q_3A и L, управляющими воздействиями u(t) – s и F₂, возмущающими r(t) – F₁, Q_1A, Q_2A.

Рис. 1.1. Схема смесителя с отводом жидкости самотеком

Полученную нелинейную модель можно линеаризовать в рабочей точке (L⁰, Q⁰_3A) в соответствии с выражением (1.8). Для этого уравнение (2.1-2) преобразуем к виду

. (2.1-4)

Затем умножим уравнение (2.1-1) на -Q⁰_3A и сложим с уравнением (2.1-4), получим

.

(2.1-5)

Уравнения (2.1-1), (2.1-3) и (2.1-5) можно записать в виде уравнения (1.1)

, (2.1-6)

где

,

.

.

Линеаризованное уравнение динамики процесса смешения в отклонениях, в соответствии с выражениями (1.8), (1.9) и учетом того, что переменные s и L неразделимы в выражении (2.1-6), можно записать в виде

. (2.1-7)

Поскольку в рабочей точке выполняются соотношения:

, ,

и

,

то оставляя в левой части уравнения (2.1-7) только функции от y(t) и py(t), получим

.

(2.1-8)

Введем относительные величины:

, , , ,

(2.1-9)

и запишем уравнение (2.1-8) в виде

. (2.1-10)

Матричное дифференциальное уравнение (2.1-10) представляет собой линеаризованную математическую модель смесителя, записанную в символической форме (2.11).

Рассмотрим нелинейную модель изменения уровня жидкости в смесителе – уравнения (2.1-1) и (2.1-3).

Объединяя их, получаем

. (2.1-11)

Модель в отклонениях имеет вид

.

(2.1-12)

Для представления модели в относительных величинах, введенных ранее, запишем уравнение (2.1-12) в виде

. (2.1-13)

Учитывая, что

, (2.1-14)

уравнение (2.1-13) принимает вид

, (2.1-15а)

или в виде

. (2.1-15б)

Моделирование нелинейного дифференциального уравнения (2.1-15), соотношения (2.1-14) и относительных величин u₁, u₂, r₁, и y₂ выполняем в среде MATLAB+Simulink, рис.1.2.

Линеаризованная математическая модели уровня жидкости в смесителе в относительных величинах имеет следующий вид:

, (2.1-16а)

или

, (2.1-16б)

т. е. описывается линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решение уравнения (2.1-16) при нулевых начальных условиях и ступенчатых воздействиях имеет вид

.

(2.1-17)

Рис. 1.2. Схема моделирования нелинейной математической модели изменения уровня жидкости в смесителе

Схемы моделирования уравнений (2.1-15) и (2.1-16) представлены на рис. 1.3.

Уравнения моделировались при значениях T₁=635.8 c, T₂=2543.2 c, T₃=508.6 c.

Установившиеся значения y₂ при u₂=0.1 для уравнения (2.1-15) составляет -0.1736, для уравнения (2.1-16) – -0.2, т. е. ошибка линеаризации равна 15.21% (2.64%). Соответственно ошибка при u₂=0.05 равна 7.56% (0.7%), а при u₂=0.03 – 4.53%. Соответственно u₁=0.1 – 1%, r₁=0.1 – 3.85%. Из этого следует, что при малых изменениях входных величин (u₁=0.1, u₂=0.03, r₁=0.1) линеаризованная модель достаточно точно описывает процесс изменения уровня жидкости в смесителе (рис. 1.4).

Рис. 1.3. Схемы моделирования уравнений (2.1-15) и (2.1-16)

Рис. 1.4. Динамика изменения выходных величин y₂ при u₂=0.1