Пример 2.2
Линеаризовать нелинейные уравнения движения ДС
(2.2-1)
вблизи
окрестности стационарной точки
при
и представить полученные уравнения в
матричной форме.
Решение
Линеаризацию системы уравнений ДС можно провести двумя способами:
1. Линеаризовать каждое уравнение системы с последующим их объединением и представлением в виде векторного дифференциального уравнения (1.11);
2. На основе уравнения (1.8) с использованием матрицы Якоби с последующим представлением векторным дифференциальным уравнением вида (1.11).
Так как функции в системе (2.2-1) аналитические, то допускают разложение в ряд Тейлора.
1. Продифференцируем каждое уравнение системы (2.2-1) по входящим в него параметрам, получаем
(2.2-2)
Перенесем
члены с параметрами
в левую часть. Учитывая, что
,
вынесем
за скобки, получим
(2.2-3)
Введем
векторы
,
и представим систему уравнений (2.2-3) в
форме (1.11), получим
.
(2.2-4)
2. Введем векторы , . Представим систему уравнений (2.2-1) в виде (1.1), где
, 
.
В соответствии с уравнением (1.8) находим якобианы и получаем
.
(2.2-5)
Учитывая, что , вынесем за скобки и получим линеаризованную систему в форме (1.11)
. (2.2-6)
Для получения линеаризованных уравнений в численной форме необходимы значения выходных и входных величин и их частных производных в стационарном состоянии ДС (2.2-1). Значения выходных величин при определяются из системы уравнений
(2.2-7)
Решение данной системы уравнений проведем в MATLAB с использованием функции solve.
Ниже приведен листинг программы с результатами решения.
>> syms y1 y2;
>> S=solve('2*y1^3*y2^2=2', 'y1/(1+y2)=0.5', y1, y2)
S =
y1: [5x1 sym]
y2: [5x1 sym]
>> S.y1
ans =
1.0
0.426*i - 0.444
0.680*i + 0.444
0.444 - 0.680*i
- 0.426*i - 0.444
>> S.y2
ans =
1.0
0.852*i - 1.888
1.361*i - 0.112
- 1.361*i - 0.112
- 0.852*i - 1.888
Учитывая
физическую природу рассматриваемой
системы (ХТП и ХТС) берем стационарное
состояние
,
определяемое действительными значениями.
В численной форме соответственно получаем
(2.2-8)
Пример 2.3
Линеаризовать нелинейные уравнения движения ДС
(2.3-1)
вблизи окрестности стационарной точки при и представить полученные уравнения в матричной форме.
Решение
Введем векторы , . Представим систему уравнений (2.3-1) в виде (1.1), где
, 
.
В соответствии с уравнением (1.8) находим якобианы и получаем
.
(2.3-2)
Следовательно, математическая модель линеаризованной непрерывной многосвязной системы в физических переменных «вход-выход» может быть представлена векторным дифференциальным уравнением вида (1.11)
.
(2.3-3)
Для получения линеаризованных уравнений в численной форме необходимы значения выходных и входных величин и их частных производных в стационарном состоянии ДС (2.3-1). Значения выходных величин при определяются из системы уравнений
(2.3-4а)
или
(2.3-4б)
Решение данной системы уравнений проведем в MATLAB с использованием функции solve.
Ниже приведен листинг программы с результатами решения.
>> syms y1 y2;
S=solve('2*y1^3*y2^2=2*2.72-2', 'y1/(1+y2)=3', y1, y2)
S =
y1: [5x1 sym]
y2: [5x1 sym]
>> S.y1
ans =
3.58
1.85 - 0.77*i
0.77*i + 1.85
- 0.81*i - 0.64
0.81*i - 0.64
>> S.y2
ans =
0.19
- 0.26*i - 0.38
0.26*i - 0.38
- 0.27*i - 1.21
0.27*i - 1.21
Учитывая,
что рассматривается ХТП или ХТС, то
берем стационарное состояние
,
определяемое действительными значениями.
В численной форме соответственно получаем
. (2.3-5)