12.7. Интегральное соотношение для расчета двумерного пограничного слоя на криволинейной поверхности

Величина давления в пограничном слое определяется давле­нием жидкости во внешнем потоке.

При обтекании плоскопараллельным несжимаемым потоком криволинейной поверхности давление в пограничном слое вдоль течения изменяется, т. е. продольный градиент давления dp/dx не равен нулю. При расчетах течения в пограничном слое на криволинейной поверхности необходимо пользоваться полным интегральным соотношением (12.2):

Заметим, что

или

Кроме того, из уравнения Бернулли следует:

или

С учетом приведенных выше преобразований интегральное соотношение (12.2)

принимает вид

или (12.36)

Величина Vo, выражающая скорость на внешней границе по­перечного сечения пограничного слоя, не зависит от у и поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Интеграл, входящий во второе слагаемое левой части этого уравнения, представляет собой обусловленное влиянием вязкости уменьшение секундного расхода жидкости через поперечное сечение пограничного слоя высотой δ и шириной равной единице по сравнению с расходом идеальной жидкости. Иными словами, этот интеграл представ­ляет собой разность между расходом жидкости сквозь сечение в пограничном слое в том случае, если бы скорость была равна скорости V₀, и действительным расходом через то же сечение.

Приравнивая эту разность к расходу идеальной жидкости через условный слой толщиной δ* при постоянной скорости V₀, получим .

В результате деления этого интеграла на скорость v0 получим некоторую

величину: (12.37)

называемую толщиной вытеснения (рис. 12.9).

Рис. 12.9. К определению

толщины вытес­нения

Величина δ^* является условной толщиной и характеризует отклонение действительной линии тока относительно линии тока в невязкой жидкости, вы­званное влиянием погра­ничного слоя.

Интеграл, входящий в первое слагаемое левой части уравнения (12.36), по величине представляет собой обусловленное влиянием вязкости изме­нение количества движе­ния в пограничном слое. Приравнивая этот инте­грал количеству движения идеальной жидкости, протекающей через некоторый условный слой толщиной δ** с постоянной ско­ростью V₀, получим .

Частное от деления этого интеграла на V₀² дает так называе­мую толщину потери

импульса (12.38)

Следует отметить, что толщина пограничного слоя больше толщины вытеснения δ^*, а последняя, в свою очередь, больше толщины потери импульса δ**, т.е. δ > δ* > δ**. Условные тол­щины δ*, δ** находят широкое применение при исследованиях пограничного слоя. Введением величин δ* и δ** интегральное со­отношение (12.36) преобразуется к виду

,

или (12.39)

Разделив это выражение на рV₀², получим интегральное со­отношение (12. 36) в безразмерном виде:

(12.40)

или окончательно где Н = δ*/δ**. (12.41)

Это уравнение с параметрами δ*, δ** и H известно под на­званием интегрального соотношения Кармана или уравнения импульсов и применяется для расчета двумерного пограничного слоя на криволинейной поверхности. Уравнение (12.41) приме­нимо для расчетов ламинарного и турбулентного пограничных слоев, поскольку о конкретном выражении касательного напря­жения через величины δ* и δ** не было сделано никаких пред­положений.

В случае обтекания плоской пластины скорость V₀ = const и тогда уравнение импульсов (12.41) упрощается: (12.42)

Используя это уравнение, запишем формулу для определе­ния силы трения

плоской пластины с одной стороны (12.43)

где – толщина потери импульса, вычисленная у задней кромки пластины.

При приближенном решении задач с помощью уравнения (12.2) предварительно находят приближенный закон изменения скорости по поперечному сечению пограничного слоя, а затем, используя это уравнение, определяют напряжение трения ₀ на обтекаемой поверхности, а также толщину пограничного слоя δ, толщину вытеснения δ*, толщину потери импульса δ**. Закон распределения скоростей поперек пограничного слоя можно за­давать приближенно в виде функций какого-либо характерного параметра, связывающего влияние формы обтекаемого крыла с характеристикой пограничного слоя. Законы распределения ско­ростей, выраженные через соответствующий параметр, называ­ются параметрическими.

Следует отметить, что пограничный слой и область внешнего течения оказывают друг на друга взаимное влияние. При безот­рывном обтекании можно приближенно определить взаимное влияние этих областей. Однако в зоне срыва потока с поверхно­сти тела теория пограничного слоя неприменима, и здесь пока приходится пользоваться только экспериментальными данными.